Comment calculer les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart-type) ? | MetMat

Comment calculer les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart-type) ?

En calculant $Q_3 - Q_1$ pour l'écart interquartile et $\max - \min$ pour l'étendue

Calculer l'étendue $e=\max-\min$ et l'écart interquartile $\mathrm{EI}=Q_3-Q_1$ d'une série, deux indicateurs simples de dispersion.

L'objectif

Calculer l'étendue $e=\max-\min$ et l'écart interquartile $\mathrm{EI}=Q_3-Q_1$ d'une série, deux indicateurs simples de dispersion.

Le principe

L'étendue $e=\max_i x_i-\min_i x_i$ mesure l'amplitude totale de la série ; le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\,\%$ des données lui soient inférieures ou égales (rang $\lceil n/4\rceil$ ), le troisième quartile $Q_3$ de même pour $75\,\%$ (rang $\lceil 3n/4\rceil$ ), et l'écart interquartile $\mathrm{EI}=Q_3-Q_1$ est peu sensible aux valeurs extrêmes.

La méthode

1
Je range la série par ordre croissant et je relève $\min=x_{(1)}$ et $\max=x_{(n)}$ , d'où l'étendue $e=x_{(n)}-x_{(1)}$ .
2
Calculer les rangs des quartiles : $Q_1=x_{(\lceil n/4\rceil)}$ et $Q_3=x_{(\lceil 3n/4\rceil)}$ (convention usuelle pour une série discrète).
Comment construire la fonction de répartition empirique et en déduire les quantiles ?Voir
3
Je calcule l'écart interquartile $\mathrm{EI}=Q_3-Q_1$ et j'interprète : $e$ donne la dispersion totale, $\mathrm{EI}$ la dispersion des $50\,\%$ centraux.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer l'étendue et l'écart interquartile de la série de $10$ valeurs : $3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 20$ .

Étape 1 —

Je range la série par ordre croissant et je relève

\min=x_{(1)}

\max=x_{(n)}

, d'où l'étendue

e=x_{(n)}-x_{(1)}

La série est déjà triée avec $n=10$ : $\min=3$ et $\max=20$ , donc $e=20-3=17$ .

Étape 2 —

Calculer les rangs des quartiles :

Q_1=x_{(\lceil n/4\rceil)}

Q_3=x_{(\lceil 3n/4\rceil)}

(convention usuelle pour une série discrète).

Rangs : $\lceil 10/4\rceil=3$ donne $Q_1=x_{(3)}=6$ et $\lceil 30/4\rceil=8$ donne $Q_3=x_{(8)}=14$ .

Étape 3 —

Je calcule l'écart interquartile

\mathrm{EI}=Q_3-Q_1

et j'interprète :

e

donne la dispersion totale,

\mathrm{EI}

la dispersion des

50\,\%

centraux.

$\mathrm{EI}=Q_3-Q_1=14-6=8$ .

$e=17$ et $\mathrm{EI}=8$ .

Application guidée

Calculer l'étendue et l'écart interquartile de la série $8, 12, 14, 16, 10, 9, 13, 15$ .

Application autonome 1

Une entreprise a relevé les temps (en minutes) de traitement pour $12$ commandes : $5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 11, 13, 14, 20$ . Calculer les indicateurs de dispersion $e$ et $\mathrm{EI}$ .

Application autonome 2

Déterminer l'étendue et l'écart interquartile de la série (triée) $2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 18, 20, 25$ .

Application autonome 3

Pour la série (triée) $3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 21, 25, 30, 35, 40$ , calculer $e$ et $\mathrm{EI}$ .

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En calculant Q3−Q1Q_3 - Q_1Q3​−Q1​ pour l'écart interquartile et max⁡−min⁡\max - \minmax−min pour l'étendue

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En calculant $Q_3 - Q_1$ pour l'écart interquartile et $\max - \min$ pour l'étendue