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Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

En prouvant la convergence d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) avec ∣f′∣≤k<1|f'|\leq k<1 (suite contractante)

L'objectif

Montrer qu'une suite un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) converge vers le point fixe ℓ\ell de ff en utilisant l'IAF.

Le principe

Si ff est dérivable sur un intervalle stable II, admet un point fixe ℓ∈I\ell\in I et vérifie ∣f′(x)∣≤k<1|f'(x)|\leq k<1 pour tout x∈Ix\in I, alors toute suite un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) avec u0∈Iu_0\in I vérifie ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|, donc un→ℓu_n\to\ell.

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que l'intervalle II est stable par ff (si x∈Ix\in I, alors f(x)∈If(x)\in I) et j'identifie le point fixe ℓ\ell en résolvant f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell.
  2. 2
    Je calcule f′f' et je détermine k<1k<1 tel que ∣f′(x)∣≤k|f'(x)|\leq k pour tout x∈Ix\in I ; par IAF, ∣un+1−ℓ∣=∣f(un)−f(ℓ)∣≤k∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|.
    Voir
  3. 3
    Par récurrence, ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell| ; comme 0≤k<10\leq k<1, kn→0k^n\to 0 et par encadrement un→ℓu_n\to\ell.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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