Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

En prouvant la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $|f'|\leq k<1$ (suite contractante)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0\in[0,1]$ et $u_{n+1}=\cos u_n$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers l'unique point fixe $\ell$ de $\cos$ sur $[0,1]$ .

La méthode

1
Je vérifie que l'intervalle $I$ est stable par $f$ (si $x\in I$ , alors $f(x)\in I$ ) et j'identifie le point fixe $\ell$ en résolvant $f(\ell)=\ell$ .
2
Je calcule $f'$ et je détermine $k<1$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x\in I$ ; par IAF, $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
3
Par récurrence, $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$ ; comme $0\leq k<1$ , $k^n\to 0$ et par encadrement $u_n\to\ell$ .
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Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $u_0\in[0,1]$ et $u_{n+1}=\cos u_n$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers l'unique point fixe $\ell$ de $\cos$ sur $[0,1]$ .

1

$f=\cos$ envoie $[0,1]$ dans $[\cos 1,1]\subset[0,1]$ donc $[0,1]$ est stable. L'équation $\cos x=x$ admet une unique solution $\ell\in[0,1]$ (point fixe de $\cos$ ).

2

$f'(x)=-\sin x$ et pour $x\in[0,1]$ , $|\sin x|\leq\sin 1<1$ . On pose $k=\sin 1\approx 0{,}841<1$ ; par IAF, $|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|$ .

3

Par récurrence, $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$ puisque $k<1$ , donc $u_n\to\ell$ .

$(u_n)$ converge vers le point fixe $\ell\approx 0{,}739$ de $\cos$ .

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Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

En prouvant la convergence d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1​=f(un​) avec ∣f′∣≤k<1|f'|\leq k<1∣f′∣≤k<1 (suite contractante)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En prouvant la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $|f'|\leq k<1$ (suite contractante)