Comment démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ?

En démontrant la double inclusion $A\subset B$ et $B\subset A$ pour obtenir $A=B$

Démontrer l'égalité de deux ensembles $A$ et $B$ en prouvant successivement $A\subset B$ puis $B\subset A$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\} = [-1,1]$ .

L'objectif

Démontrer l'égalité de deux ensembles $A$ et $B$ en prouvant successivement $A\subset B$ puis $B\subset A$ .

Le principe

Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux si et seulement si $A\subset B$ et $B\subset A$ .

La méthode

1
Je montre l'inclusion $A\subset B$ : je prends $x\in A$ et je prouve que $x\in B$ .
2
Je montre la réciproque $B\subset A$ : je prends $x\in B$ et je prouve que $x\in A$ .
3
Je conclus, par double inclusion, que $A=B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\} = [-1,1]$ .

Étape 1 —

Je montre l'inclusion

A\subset B

: je prends

x\in A

et je prouve que

x\in B

.

Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $x^2\leq 1$ . Alors $|x|\leq 1$ donc $-1\leq x\leq 1$ : $x\in[-1,1]$ .

Étape 2 —

Je montre la réciproque

B\subset A

: je prends

x\in B

et je prouve que

x\in A

.

Réciproquement, soit $x\in[-1,1]$ : $|x|\leq 1$ donc $x^2\leq 1$ , d'où $x\in\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}$ .

Étape 3 —

Je conclus, par double inclusion, que

A=B

.

Les deux inclusions sont établies, donc $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\} = [-1,1]$ .

$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\} = [-1,1]$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une application est injective, surjective ou bijective, et déterminer sa réciproque ?

Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?

Comment démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ?

En démontrant la double inclusion A⊂BA\subset BA⊂B et B⊂AB\subset AB⊂A pour obtenir A=BA=BA=B

Pour comprendre, fais des exercices !

En démontrant la double inclusion $A\subset B$ et $B\subset A$ pour obtenir $A=B$