En démontrant la double inclusion $A\subset B$ et $B\subset A$ pour obtenir $A=B$

Démontrer l'égalité de deux ensembles $A$ et $B$ en prouvant successivement $A\subset B$ puis $B\subset A$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\} = [-1,1]$ .

L'objectif

Démontrer l'égalité de deux ensembles $A$ et $B$ en prouvant successivement $A\subset B$ puis $B\subset A$ .

Le principe

Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux si et seulement si $A\subset B$ et $B\subset A$ .

La méthode

1
Je montre l'inclusion $A\subset B$ : je prends $x\in A$ et je prouve que $x\in B$ .
2
Je montre la réciproque $B\subset A$ : je prends $x\in B$ et je prouve que $x\in A$ .
3
Je conclus, par double inclusion, que $A=B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\} = [-1,1]$ .

Étape 1 —

Je montre l'inclusion

A\subset B

: je prends

x\in A

et je prouve que

x\in B

Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $x^2\leq 1$ . Alors $|x|\leq 1$ donc $-1\leq x\leq 1$ : $x\in[-1,1]$ .

Étape 2 —

Je montre la réciproque

B\subset A

: je prends

x\in B

et je prouve que

x\in A

Réciproquement, soit $x\in[-1,1]$ : $|x|\leq 1$ donc $x^2\leq 1$ , d'où $x\in\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}$ .

Étape 3 —

Je conclus, par double inclusion, que

A=B

Les deux inclusions sont établies, donc $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\} = [-1,1]$ .

$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\} = [-1,1]$ .

Application guidée

Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$ . Démontrer la loi de De Morgan $\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap\overline{B}$ .

Application autonome 1

Soient $A,B,C$ trois parties d'un ensemble $E$ . Montrer que $A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$ .

Application autonome 2

Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$ . Montrer par double inclusion que $A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$ .

Application autonome 3

Montrer par double inclusion que $\{x\in\mathbb{R}\mid |x-2|\leq 3\}=[-1,5]$ .

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