En montrant une inclusion par appartenance : $x\in A \Rightarrow x\in B$

L'objectif

Démontrer qu'un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$ en raisonnant sur un élément générique.

Le principe

Par définition, $A\subset B$ signifie $\forall x,\ (x\in A \Rightarrow x\in B)$ : il suffit donc de prendre $x\in A$ quelconque et d'établir $x\in B$ .

La méthode

1
Je me donne un élément $x$ quelconque de $A$ et je traduis la condition $x\in A$ à l'aide de la définition de $A$ .
2
À partir des propriétés de $x$ , je déduis, par calculs ou implications logiques, que $x$ vérifie la condition qui définit $B$ .
3
Je conclus $x\in B$ ; comme $x$ était arbitraire dans $A$ , j'ai bien $A\subset B$ .

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Application guidée 1

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}\subset [-1,1]$ .

Application guidée 2

Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$ . Montrer que $A\cap B\subset A\cup B$ .

Application autonome 1

Montrer que $\{n\in\mathbb{N}\mid n\text{ est un multiple de }6\}\subset \{n\in\mathbb{N}\mid n\text{ est pair}\}$ .

Application autonome 2

Soient $A,B,C$ trois parties d'un ensemble $E$ . Montrer que $A\cap B\subset A\cup C$ .

Application autonome 3

Montrer que $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\}\subset\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x|\le 1\}$ .

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En montrant une inclusion par appartenance : x∈A⇒x∈Bx\in A \Rightarrow x\in Bx∈A⇒x∈B

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En montrant une inclusion par appartenance : $x\in A \Rightarrow x\in B$