Comment démontrer une inclusion ou une égalité d'ensembles ?

En montrant une inclusion par appartenance : $x\in A \Rightarrow x\in B$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}\subset [-1,1]$ .

La méthode

1
Je me donne un élément $x$ quelconque de $A$ et je traduis la condition $x\in A$ à l'aide de la définition de $A$ .
2
À partir des propriétés de $x$ , je déduis, par calculs ou implications logiques, que $x$ vérifie la condition qui définit $B$ .
3
Je conclus $x\in B$ ; comme $x$ était arbitraire dans $A$ , j'ai bien $A\subset B$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}\subset [-1,1]$ .

1

Je prends $x\in\mathbb{R}$ tel que $x^2\leq 1$ , c'est-à-dire $x\in A$ .

2

De $x^2\leq 1$ je déduis $|x|\leq 1$ , d'où $-1\leq x\leq 1$ .

3

Donc $x\in[-1,1]$ , et par suite $A\subset [-1,1]$ .

$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2\leq 1\}\subset [-1,1]$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

En montrant une inclusion par appartenance : $x\in A \Rightarrow x\in B$