Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ?

En vérifiant que $P(X=x)\geq 0$ pour tout $x$ et que $\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On pose $P(X=k)=\frac{a}{2^k}$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ . Déterminer $a$ pour que cela définisse une loi.

La méthode

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Je vérifie que $P(X=x)\ge 0$ pour tout $x\in X(\Omega)$ (positivité), ce qui peut imposer des contraintes sur un paramètre éventuel.
2
Je calcule la somme $\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)$ en reconnaissant une série usuelle (géométrique, exponentielle, formule du binôme) si le support est infini.
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir
3
Je conclus : si la somme vaut $1$ , la famille définit bien une loi ; sinon je détermine le paramètre qui ajuste la normalisation.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On pose $P(X=k)=\frac{a}{2^k}$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ . Déterminer $a$ pour que cela définisse une loi.

1

La positivité $\frac{a}{2^k}\ge 0$ pour tout $k\ge 1$ impose $a\ge 0$ .

2

La somme est $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{a}{2^k}=a\cdot\frac{1/2}{1-1/2}=a$ (série géométrique de raison $1/2$ ).

3

La condition $\sum p_k=1$ donne $a=1$ , valeur compatible avec la positivité ; la loi obtenue est $\mathcal{G}(1/2)$ .

$a=1$ .

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Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ?

En vérifiant que P(X=x)≥0P(X=x)\geq 0P(X=x)≥0 pour tout xxx et que ∑x∈X(Ω)P(X=x)=1\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1∑x∈X(Ω)​P(X=x)=1

Pour comprendre, passons aux exercices.

En vérifiant que $P(X=x)\geq 0$ pour tout $x$ et que $\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1$