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Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ?

En vérifiant que P(X=x)≥0P(X=x)\geq 0 pour tout xx et que ∑x∈X(Ω)P(X=x)=1\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1

L'objectif

Vérifier qu'une famille de nombres (px)x∈X(Ω)(p_x)_{x\in X(\Omega)} définit bien une loi de probabilité, ou déterminer un paramètre pour qu'elle le soit.

Le principe

Une famille (px)x∈E(p_x)_{x\in E} indexée par un ensemble EE fini ou dénombrable définit une loi de probabilité discrète si et seulement si : (i) px≥0p_x\ge 0 pour tout x∈Ex\in E et (ii) ∑x∈Epx=1\sum_{x\in E} p_x = 1 (avec convergence absolue si EE est infini).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que P(X=x)≥0P(X=x)\ge 0 pour tout x∈X(Ω)x\in X(\Omega) (positivité), ce qui peut imposer des contraintes sur un paramètre éventuel.
  2. 2
    Je calcule la somme ∑x∈X(Ω)P(X=x)\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x) en reconnaissant une série usuelle (géométrique, exponentielle, formule du binôme) si le support est infini.
    Voir
  3. 3
    Je conclus : si la somme vaut 11, la famille définit bien une loi ; sinon je détermine le paramètre qui ajuste la normalisation.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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