Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ à partir d'un contrôle $|f'|\leq k$ sur l'intervalle

L'objectif

Majorer l'écart $|f(b)-f(a)|$ en utilisant une borne de $|f'|$ sur le segment $[a,b]$ .

Le principe

Inégalité des accroissements finis : si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et s'il existe $k\geq 0$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x\in I$ , alors pour tous $a,b\in I$ : $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ contenant $a$ et $b$ .
2
Je calcule $f'$ et je détermine un majorant $k$ de $|f'|$ sur $I$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
3
J'applique l'IAF pour conclure $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

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En majorant ∣f(b)−f(a)∣≤k∣b−a∣|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|∣f(b)−f(a)∣≤k∣b−a∣ à partir d'un contrôle ∣f′∣≤k|f'|\leq k∣f′∣≤k sur l'intervalle

Exemple corrigé

En majorant $|f(b)-f(a)|\leq k|b-a|$ à partir d'un contrôle $|f'|\leq k$ sur l'intervalle