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Dénombrement et probabilités sur un univers fini — cours et méthodes… | MetMat
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ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 1ère année Maths Appliquées
Dénombrement et probabilités sur un univers fini
Coefficients binomiaux, dénombrement, événements, systèmes complets, probabilité sur un univers fini, probabilités conditionnelles et indépendance.
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1
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Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ?
En appliquant
(
n
p
)
=
n
!
p
!
(
n
−
p
)
!
\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}
(
p
n
)
=
p
!
(
n
−
p
)!
n
!
ou la relation de Pascal
(
n
p
)
=
(
n
−
1
p
−
1
)
+
(
n
−
1
p
)
\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}
(
p
n
)
=
(
p
−
1
n
−
1
)
+
(
p
n
−
1
)
Nouveau
En exploitant la symétrie
(
n
p
)
=
(
n
n
−
p
)
\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}
(
p
n
)
=
(
n
−
p
n
)
pour simplifier le calcul
Nouveau
Comment dénombrer à l'aide de factorielles, arrangements et coefficients binomiaux ?
Nouveau
Comment montrer qu'une famille d'événements est un système complet d'événements ?
Nouveau
Comment calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité ?
Nouveau
Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?
En appliquant
P
A
(
B
)
=
P
(
A
∩
B
)
P
(
A
)
P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}
P
A
(
B
)
=
P
(
A
)
P
(
A
∩
B
)
lorsque
P
(
A
)
>
0
P(A)>0
P
(
A
)
>
0
Nouveau
En enchaînant la formule des probabilités composées :
P
(
A
1
∩
⋯
∩
A
n
)
=
P
(
A
1
)
P
A
1
(
A
2
)
⋯
P
A
1
∩
⋯
∩
A
n
−
1
(
A
n
)
P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)
P
(
A
1
∩
⋯
∩
A
n
)
=
P
(
A
1
)
P
A
1
(
A
2
)
⋯
P
A
1
∩
⋯
∩
A
n
−
1
(
A
n
)
Nouveau
Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
Nouveau
Comment utiliser la formule de Bayes ?
Nouveau
Comment montrer que des événements sont (mutuellement) indépendants ?
En vérifiant
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(A\cap B)=P(A)P(B)
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
pour l'indépendance de deux événements
Nouveau
En vérifiant
P
(
A
i
1
∩
⋯
∩
A
i
k
)
=
∏
P
(
A
i
j
)
P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\prod P(A_{i_j})
P
(
A
i
1
∩
⋯
∩
A
i
k
)
=
∏
P
(
A
i
j
)
pour toute sous-famille, pour l'indépendance mutuelle
Nouveau
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Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
Résoudre
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.