Comment calculer une probabilité… : En enchaînant la formule des… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?

En enchaînant la formule des probabilités composées : $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$

Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en enchaînant des probabilités conditionnelles le long d'un scénario chronologique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une urne contient $4$ boules rouges et $3$ boules blanches. On tire $3$ boules successivement sans remise. Calculer la probabilité de tirer $3$ rouges.

L'objectif

Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en enchaînant des probabilités conditionnelles le long d'un scénario chronologique.

Le principe

Si $P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})>0$ , alors $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)\,P_{A_1}(A_2)\,P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$ .

La méthode

1
Je modélise la situation par un arbre chronologique et j'identifie les événements $A_1,\dots,A_n$ dont je veux l'intersection, en vérifiant que les probabilités conditionnelles sont bien définies (probabilités cumulées strictement positives).
2
Je calcule successivement $P(A_1)$ , puis $P_{A_1}(A_2)$ , puis $P_{A_1\cap A_2}(A_3)$ , etc., en utilisant le contexte (tirages sans remise, effectifs mis à jour…).
3
Je conclus en multipliant les probabilités obtenues pour obtenir $P(A_1\cap\dots\cap A_n)$ : c'est le produit des probabilités le long d'une branche de l'arbre.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Une urne contient $4$ boules rouges et $3$ boules blanches. On tire $3$ boules successivement sans remise. Calculer la probabilité de tirer $3$ rouges.

Étape 1 —

Je modélise la situation par un arbre chronologique et j'identifie les événements

A_1,\dots,A_n

dont je veux l'intersection, en vérifiant que les probabilités conditionnelles sont bien définies (probabilités cumulées strictement positives).

Je note $R_i$ : « la $i$ -ième boule est rouge » pour $i=1,2,3$ et je cherche $P(R_1\cap R_2\cap R_3)$ . Les probabilités conditionnelles sont bien définies car au moins une rouge reste disponible à chaque étape.

Étape 2 —

Je calcule successivement

P(A_1)

, puis

P_{A_1}(A_2)

, puis

P_{A_1\cap A_2}(A_3)

, etc., en utilisant le contexte (tirages sans remise, effectifs mis à jour…).

$P(R_1)=\dfrac{4}{7}$ ; sachant $R_1$ , il reste $3$ rouges sur $6$ : $P_{R_1}(R_2)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ ; sachant $R_1\cap R_2$ , il reste $2$ rouges sur $5$ : $P_{R_1\cap R_2}(R_3)=\dfrac{2}{5}$ .

Étape 3 —

Je conclus en multipliant les probabilités obtenues pour obtenir

P(A_1\cap\dots\cap A_n)

: c'est le produit des probabilités le long d'une branche de l'arbre.

Par la formule des probabilités composées : $P(R_1\cap R_2\cap R_3)=\dfrac{4}{7}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{8}{70}=\dfrac{4}{35}$ .

$P(R_1\cap R_2\cap R_3)=\dfrac{4}{35}$ .

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Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?

En enchaînant la formule des probabilités composées : P(A1∩⋯∩An)=P(A1)PA1(A2)⋯PA1∩⋯∩An−1(An)P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)P(A1​∩⋯∩An​)=P(A1​)PA1​​(A2​)⋯PA1​∩⋯∩An−1​​(An​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En enchaînant la formule des probabilités composées : $P(A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)$