Comment calculer une probabilité… : En appliquant P_A(B)= P(Acap B) P(A)… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?

En appliquant $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque $P(A)>0$

Calculer la probabilité d'un événement $B$ sachant qu'un événement $A$ de probabilité strictement positive est réalisé.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules noires. On tire successivement et sans remise deux boules. On note $A$ : « la première boule est rouge » et $B$ : « la seconde boule est noire ». Calculer $P_A(B)$ .

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $B$ sachant qu'un événement $A$ de probabilité strictement positive est réalisé.

Le principe

Si $P(A)>0$ , on définit $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , qui donne une nouvelle probabilité sur l'univers réduit à $A$ .

La méthode

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Je vérifie que l'événement conditionnant $A$ vérifie $P(A)>0$ , condition indispensable pour que $P_A$ soit défini.
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Je calcule $P(A)$ et $P(A\cap B)$ en m'appuyant sur le modèle probabiliste (équiprobabilité, dénombrement, arbre).
Comment dénombrer à l'aide de factorielles, arrangements et coefficients binomiaux ?Voir
3
Je conclus par $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ et j'interprète le résultat comme la probabilité de $B$ dans l'univers réduit aux cas où $A$ est réalisé.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que l'événement conditionnant

A

vérifie

P(A)>0

, condition indispensable pour que

P_A

soit défini.

$A$ correspond à tirer une des $3$ boules rouges parmi les $5$ initialement : $P(A)=\dfrac{3}{5}>0$ , donc $P_A$ est bien défini.

Étape 2 —

Je calcule

P(A)

P(A\cap B)

en m'appuyant sur le modèle probabiliste (équiprobabilité, dénombrement, arbre).

$P(A)=\dfrac{3}{5}$ et $P(A\cap B)$ correspond au chemin « rouge puis noire » : $P(A\cap B)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$ .

Étape 3 —

Je conclus par

P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}

et j'interprète le résultat comme la probabilité de

B

dans l'univers réduit aux cas où

A

est réalisé.

Donc $P_A(B)=\dfrac{3/10}{3/5}=\dfrac{3}{10}\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{2}$ : sachant que la première boule est rouge, il reste $2$ noires sur $4$ boules.

$P_A(B)=\dfrac{1}{2}$ .

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Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?

En appliquant PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}PA​(B)=P(A)P(A∩B)​ lorsque P(A)>0P(A)>0P(A)>0

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque $P(A)>0$