Comment utiliser la formule des… : En décomposant P(B)=sum_i P(Bcap A_i) =… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

En décomposant $P(B)=\sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P_{A_i}(B)P(A_i)$ via un système complet d'événements $(A_i)$ adapté

Calculer la probabilité d'un événement $B$ lorsque les probabilités conditionnelles de $B$ sachant une partition de l'univers sont connues.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans une population, $1\,\%$ des individus sont atteints d'une maladie. Un test est positif dans $95\,\%$ des cas chez les malades et dans $2\,\%$ des cas chez les sains. Calculer la probabilité $P(T)$ qu'un individu pris au hasard soit testé positif.

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $B$ lorsque les probabilités conditionnelles de $B$ sachant une partition de l'univers sont connues.

Le principe

Si $(A_i)_{i\in I}$ est un système complet d'événements (famille finie d'événements deux à deux incompatibles de réunion $\Omega$ ) avec $P(A_i)>0$ pour tout $i$ , alors $P(B)=\sum_{i\in I} P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ .

La méthode

1
Je choisis un système complet d'événements $(A_i)$ adapté au problème (selon les causes, les urnes, les catégories…) et je vérifie que $P(A_i)>0$ pour chaque $i$ .
Comment montrer qu'une famille d'événements est un système complet d'événements ?Voir
2
Je détermine pour chaque $i$ les probabilités $P(A_i)$ et $P_{A_i}(B)$ à l'aide du contexte (souvent via un arbre de probabilités).
3
Je conclus par $P(B)=\displaystyle\sum_{i\in I} P_{A_i}(B)\,P(A_i)$ : c'est la somme des produits le long des branches aboutissant à $B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je choisis un système complet d'événements

(A_i)

adapté au problème (selon les causes, les urnes, les catégories…) et je vérifie que

P(A_i)>0

pour chaque

i

Je prends le système complet $(M,\overline{M})$ où $M$ : « l'individu est malade ». On a $P(M)=0{,}01>0$ et $P(\overline{M})=0{,}99>0$ .

Étape 2 —

Je détermine pour chaque

i

les probabilités

P(A_i)

P_{A_i}(B)

à l'aide du contexte (souvent via un arbre de probabilités).

Données : $P(M)=0{,}01$ , $P(\overline{M})=0{,}99$ , $P_M(T)=0{,}95$ , $P_{\overline{M}}(T)=0{,}02$ .

Étape 3 —

Je conclus par

P(B)=\displaystyle\sum_{i\in I} P_{A_i}(B)\,P(A_i)

: c'est la somme des produits le long des branches aboutissant à

B

Par la formule des probabilités totales : $P(T)=P_M(T)P(M)+P_{\overline{M}}(T)P(\overline{M})=0{,}95\times 0{,}01+0{,}02\times 0{,}99=0{,}0095+0{,}0198=0{,}0293$ .

$P(T)=0{,}0293$ , soit environ $2{,}93\,\%$ .

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Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

En décomposant P(B)=∑iP(B∩Ai)=∑iPAi(B)P(Ai)P(B)=\sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P_{A_i}(B)P(A_i)P(B)=∑i​P(B∩Ai​)=∑i​PAi​​(B)P(Ai​) via un système complet d'événements (Ai)(A_i)(Ai​) adapté

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant $P(B)=\sum_i P(B\cap A_i) = \sum_i P_{A_i}(B)P(A_i)$ via un système complet d'événements $(A_i)$ adapté