Comment montrer que des événements sont (mutuellement) indépendants ?

En vérifiant $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ pour l'indépendance de deux événements

Établir si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants en comparant $P(A\cap B)$ au produit $P(A)P(B)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ : « le premier dé donne $6$ » et $B$ : « la somme est paire ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

L'objectif

Établir si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants en comparant $P(A\cap B)$ au produit $P(A)P(B)$ .

Le principe

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ; si de plus $P(A)>0$ , cela équivaut à $P_A(B)=P(B)$ .

La méthode

1
Je calcule séparément $P(A)$ et $P(B)$ à partir de la modélisation probabiliste choisie (équiprobabilité, dénombrement).
Comment calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité ?Voir
2
Je calcule $P(A\cap B)$ en dénombrant directement l'intersection ou via un arbre/tableau.
3
Je compare $P(A\cap B)$ à $P(A)P(B)$ : si l'égalité est vérifiée, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ : « le premier dé donne $6$ » et $B$ : « la somme est paire ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Étape 1 —

Je calcule séparément

P(A)

et

P(B)

à partir de la modélisation probabiliste choisie (équiprobabilité, dénombrement).

$P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ (le premier dé est un $6$ , $6$ issues sur $36$ ) et $P(B)=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$ (la moitié des sommes sont paires).

Étape 2 —

Je calcule

P(A\cap B)

en dénombrant directement l'intersection ou via un arbre/tableau.

$A\cap B$ = « premier dé vaut $6$ et somme paire » = « premier dé $6$ , second dé pair » : $3$ issues $(6,2),(6,4),(6,6)$ sur $36$ , donc $P(A\cap B)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$ .

Étape 3 —

Je compare

P(A\cap B)

à

P(A)P(B)

: si l'égalité est vérifiée, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

$P(A)P(B)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}=P(A\cap B)$ : les événements sont indépendants.

$A$ et $B$ sont indépendants.

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En vérifiant P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B) pour l'indépendance de deux événements

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ pour l'indépendance de deux événements