Comment montrer que des événements sont (mutuellement) indépendants ?

En vérifiant $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\prod P(A_{i_j})$ pour toute sous-famille, pour l'indépendance mutuelle

L'objectif

Établir que $n$ événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants en contrôlant le produit des probabilités sur toute sous-famille.

Le principe

Les événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants si et seulement si, pour toute sous-famille $\{i_1,\dots,i_k\}\subset\{1,\dots,n\}$ avec $k\ge 2$ , on a $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})$ ; l'indépendance deux à deux ne suffit pas en général.

La méthode

1
Je liste toutes les sous-familles de taille $\ge 2$ de $\{A_1,\dots,A_n\}$ (il y en a $2^n-n-1$ ) et je calcule $P(A_i)$ pour chaque événement.
2
Pour chaque sous-famille $\{A_{i_1},\dots,A_{i_k}\}$ , je calcule $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})$ et je compare au produit $P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})$ .
3
Je conclus : si l'égalité est vraie pour toutes les sous-familles, la famille est mutuellement indépendante ; s'il existe une sous-famille qui échoue, elle ne l'est pas (même si l'indépendance deux à deux est vérifiée).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant P(Ai1∩⋯∩Aik)=∏P(Aij)P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\prod P(A_{i_j})P(Ai1​​∩⋯∩Aik​​)=∏P(Aij​​) pour toute sous-famille, pour l'indépendance mutuelle

Exemple corrigé

En vérifiant $P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=\prod P(A_{i_j})$ pour toute sous-famille, pour l'indépendance mutuelle