Comment dénombrer à l'aide de… : En identifiant la nature du tirage… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment dénombrer à l'aide de factorielles, arrangements et coefficients binomiaux ?

En identifiant la nature du tirage (avec/sans ordre, avec/sans répétition) pour choisir la formule adéquate

Compter le nombre de configurations d'un tirage de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments selon que l'ordre compte et que les répétitions sont autorisées.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot MATHS ?

L'objectif

Compter le nombre de configurations d'un tirage de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments selon que l'ordre compte et que les répétitions sont autorisées.

Le principe

Pour choisir $p$ éléments parmi $n$ : sans répétition et avec ordre, il y a $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$ arrangements ; sans répétition et sans ordre, il y a $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ combinaisons ; avec répétition et avec ordre, il y a $n^p$ $p$ -listes ; le nombre de permutations de $n$ éléments deux à deux distincts est $n!$ , et celui d'un mot avec répétitions est $\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}$ .

La méthode

1
Je précise l'univers : je décris l'ensemble dans lequel on tire (de cardinal $n$ ) et le nombre $p$ d'éléments à choisir.
2
Je détermine deux choses : l'ordre du tirage est-il pris en compte (mot vs ensemble) ? les répétitions sont-elles autorisées (tirage avec remise ou lettres répétées vs sans remise) ?
3
J'applique la formule correspondante : $n^p$ (avec ordre, avec répétition), $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$ (avec ordre, sans répétition), $\binom{n}{p}$ (sans ordre, sans répétition), ou $\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}$ pour un anagramme à lettres répétées.
Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Combien y a-t-il d'anagrammes du mot MATHS ?

Étape 1 —

Je précise l'univers : je décris l'ensemble dans lequel on tire (de cardinal

n

) et le nombre

p

d'éléments à choisir.

Le mot MATHS contient $n=5$ lettres, toutes distinctes ; on cherche le nombre de permutations de ces $5$ lettres.

Étape 2 —

Je détermine deux choses : l'ordre du tirage est-il pris en compte (mot vs ensemble) ? les répétitions sont-elles autorisées (tirage avec remise ou lettres répétées vs sans remise) ?

L'ordre compte (un mot est une suite ordonnée) et il n'y a pas de répétition puisque toutes les lettres sont distinctes.

Étape 3 —

J'applique la formule correspondante :

n^p

(avec ordre, avec répétition),

A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}

(avec ordre, sans répétition),

\binom{n}{p}

(sans ordre, sans répétition), ou

\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}

pour un anagramme à lettres répétées.

Le nombre d'anagrammes est $5!=120$ .

$5!=120$ anagrammes.

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