Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ?

En exploitant la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ pour simplifier le calcul

Calculer efficacement $\binom{n}{p}$ lorsque $p$ est proche de $n$ en utilisant la symétrie pour se ramener à un calcul avec moins de facteurs.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\binom{100}{97}$ .

L'objectif

Calculer efficacement $\binom{n}{p}$ lorsque $p$ est proche de $n$ en utilisant la symétrie pour se ramener à un calcul avec moins de facteurs.

Le principe

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ et $0\le p\le n$ , on a $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ , ce qui permet de remplacer un calcul avec $p$ facteurs par un calcul avec $n-p$ facteurs.

La méthode

1
Je compare $p$ et $n-p$ et je choisis le plus petit des deux : si $p>n/2$ , je pose $q=n-p$ plus petit.
2
J'applique la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ pour remplacer le calcul demandé par un calcul avec moins de facteurs.
3
Je calcule $\binom{n}{n-p}$ par la formule factorielle $\binom{n}{q}=\frac{n(n-1)\cdots(n-q+1)}{q!}$ et je donne la valeur exacte.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\binom{100}{97}$ .

Étape 1 —

Je compare

p

et

n-p

et je choisis le plus petit des deux : si

p>n/2

, je pose

q=n-p

plus petit.

Ici $p=97$ et $n-p=3$ : $n-p$ est beaucoup plus petit, je privilégie donc la symétrie.

Étape 2 —

J'applique la symétrie

\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}

pour remplacer le calcul demandé par un calcul avec moins de facteurs.

Par symétrie, $\binom{100}{97}=\binom{100}{3}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\binom{n}{n-p}

par la formule factorielle

\binom{n}{q}=\frac{n(n-1)\cdots(n-q+1)}{q!}

et je donne la valeur exacte.

$\binom{100}{3}=\frac{100\times 99\times 98}{3!}=\frac{970\,200}{6}=161\,700$ .

$\binom{100}{97}=161\,700$ .

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