Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ?

En appliquant $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ ou la relation de Pascal $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$

L'objectif

Calculer la valeur exacte d'un coefficient binomial $\binom{n}{p}$ pour $0\le p\le n$ .

Le principe

Pour $n,p\in\mathbb{N}$ avec $0\le p\le n$ , $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ et $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$ (relation de Pascal), avec les valeurs particulières $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ et $\binom{n}{1}=n$ .

La méthode

1
Je vérifie que $0\le p\le n$ (sinon $\binom{n}{p}=0$ ) et je repère les valeurs immédiates $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ , $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$ .
2
Je choisis la méthode : formule factorielle si $p$ (ou $n-p$ ) est petit, ou relation de Pascal $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$ si je veux procéder par récurrence ou remplir un triangle de Pascal.
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?Voir
3
J'effectue le calcul en simplifiant par $(n-p)!$ au numérateur : $\binom{n}{p}=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!}$ ( $p$ facteurs au numérateur), et je donne la valeur exacte.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En appliquant (np)=n!p!(n−p)!\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}(pn​)=p!(n−p)!n!​ ou la relation de Pascal (np)=(n−1p−1)+(n−1p)\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}(pn​)=(p−1n−1​)+(pn−1​)

Exemple corrigé

En appliquant $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ ou la relation de Pascal $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$