Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?

En encadrant $f(x)$ entre deux fonctions de même limite (théorème des gendarmes)

L'objectif

Calculer la limite d'une fonction $f$ en la coinçant entre deux fonctions $u$ et $v$ de même limite.

Le principe

Théorème des gendarmes : soient $u$ , $f$ , $v$ trois fonctions définies au voisinage de $a$ (fini ou infini) et $\ell\in\mathbb{R}$ ; si $\forall x$ du voisinage, $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ et $\lim_{x\to a} u(x)=\lim_{x\to a} v(x)=\ell$ , alors $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ . Version infinie : si $u\leq f$ avec $u\to +\infty$ , alors $f\to +\infty$ (et symétriquement pour $-\infty$ ).

La méthode

1
J'exhibe un encadrement de $f(x)$ par deux fonctions $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ , typiquement en majorant/minorant un terme oscillant (par exemple $-1\leq\sin x\leq 1$ ).
2
Je calcule les limites des deux bornes $u$ et $v$ en $a$ et je vérifie qu'elles coïncident ( $\lim u=\lim v=\ell$ ).
3
J'applique le théorème des gendarmes pour conclure que $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En encadrant f(x)f(x)f(x) entre deux fonctions de même limite (théorème des gendarmes)

Exemple corrigé

En encadrant $f(x)$ entre deux fonctions de même limite (théorème des gendarmes)