Comment formuler la négation d'une proposition ?

En échangeant les quantificateurs ( $\forall\leftrightarrow\exists$ ) et en appliquant les lois de De Morgan

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire la négation de la proposition $P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y > 0, x < y$ .

La méthode

1
Je repère la structure logique de la proposition : quantificateurs, connecteurs ( $\mathrm{et}$ , $\mathrm{ou}$ , $\Rightarrow$ ) et le prédicat final.
2
Je parcours la proposition de gauche à droite en échangeant chaque $\forall$ en $\exists$ et chaque $\exists$ en $\forall$ , et en appliquant De Morgan aux connecteurs.
3
Je termine en niant le prédicat le plus interne (par exemple $\leq$ devient $>$ , $=$ devient $\neq$ , $<$ devient $\geq$ ).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Écrire la négation de la proposition $P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y > 0, x < y$ .

1

La proposition est formée d'un $\forall$ extérieur, d'un $\exists$ intérieur, d'une condition $y > 0$ et d'un prédicat $x < y$ .

2

Je commence par $\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \neg(\exists y > 0, x < y)$ , soit $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y > 0, \neg(x < y)$ .

3

Je nie le prédicat : $\neg(x < y)$ devient $x \geq y$ , d'où $\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \forall y > 0, \ x \geq y$ .

$\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \;\forall y > 0, \;x \geq y$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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