Comment formuler la négation d'une proposition ? | MetMat

Comment formuler la négation d'une proposition ?

En échangeant les quantificateurs ( $\forall\leftrightarrow\exists$ ) et en appliquant les lois de De Morgan

Écrire la négation d'une proposition quantifiée en respectant les règles $\neg(\forall x, P(x)) = \exists x, \neg P(x)$ et les lois de De Morgan.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire la négation de la proposition $P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y > 0, x < y$ .

L'objectif

Écrire la négation d'une proposition quantifiée en respectant les règles $\neg(\forall x, P(x)) = \exists x, \neg P(x)$ et les lois de De Morgan.

Le principe

Les règles de base sont : $\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$ , $\neg(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x)$ , $\neg(A \;\mathrm{et} \;B) \equiv \neg A \;\mathrm{ou} \;\neg B$ , $\neg(A \;\mathrm{ou} \;B) \equiv \neg A \;\mathrm{et} \;\neg B$ , et $\neg(A \Rightarrow B) \equiv A \;\mathrm{et} \;\neg B$ .

La méthode

1
Je repère la structure logique de la proposition : quantificateurs, connecteurs ( $\mathrm{et}$ , $\mathrm{ou}$ , $\Rightarrow$ ) et le prédicat final.
2
Je parcours la proposition de gauche à droite en échangeant chaque $\forall$ en $\exists$ et chaque $\exists$ en $\forall$ , et en appliquant De Morgan aux connecteurs.
3
Je termine en niant le prédicat le plus interne (par exemple $\leq$ devient $>$ , $=$ devient $\neq$ , $<$ devient $\geq$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Écrire la négation de la proposition $P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y > 0, x < y$ .

Étape 1 —

Je repère la structure logique de la proposition : quantificateurs, connecteurs (

\mathrm{et}

\mathrm{ou}

\Rightarrow

) et le prédicat final.

La proposition est formée d'un $\forall$ extérieur, d'un $\exists$ intérieur, d'une condition $y > 0$ et d'un prédicat $x < y$ .

Étape 2 —

Je parcours la proposition de gauche à droite en échangeant chaque

\forall

\exists

et chaque

\exists

\forall

, et en appliquant De Morgan aux connecteurs.

Je commence par $\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \neg(\exists y > 0, x < y)$ , soit $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y > 0, \neg(x < y)$ .

Étape 3 —

Je termine en niant le prédicat le plus interne (par exemple

\leq

devient

>

=

devient

\neq

<

devient

\geq

Je nie le prédicat : $\neg(x < y)$ devient $x \geq y$ , d'où $\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \forall y > 0, \ x \geq y$ .

$\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \;\forall y > 0, \;x \geq y$ .

Application guidée

Écrire la négation de $Q : \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - \ell| < \varepsilon$ .

Application autonome 1

Écrire la négation de $R : \forall x \in \mathbb{R}, (x \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq x)$ .

Application autonome 2

Écrire la négation de la proposition $P : \exists x\in\mathbb{R},\;\forall y\in\mathbb{R},\;x+y>0$ .

Application autonome 3

Écrire la négation de $Q : \forall n\in\mathbb{N},\;(n\;\text{premier}\Rightarrow n\;\text{impair ou }n=2)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En échangeant les quantificateurs (∀↔∃\forall\leftrightarrow\exists∀↔∃) et en appliquant les lois de De Morgan

Pour comprendre, fais des exercices !

En échangeant les quantificateurs ( $\forall\leftrightarrow\exists$ ) et en appliquant les lois de De Morgan