Comment formuler la négation… : En échangeant les quantificateurs… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment formuler la négation d'une proposition ?

En échangeant les quantificateurs ( $\forall\leftrightarrow\exists$ ) et en appliquant les lois de De Morgan

Écrire la négation d'une proposition quantifiée en respectant les règles $\neg(\forall x, P(x)) = \exists x, \neg P(x)$ et les lois de De Morgan.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire la négation de la proposition $P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y > 0, x < y$ .

L'objectif

Écrire la négation d'une proposition quantifiée en respectant les règles $\neg(\forall x, P(x)) = \exists x, \neg P(x)$ et les lois de De Morgan.

Le principe

Les règles de base sont : $\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$ , $\neg(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x)$ , $\neg(A \;\mathrm{et} \;B) \equiv \neg A \;\mathrm{ou} \;\neg B$ , $\neg(A \;\mathrm{ou} \;B) \equiv \neg A \;\mathrm{et} \;\neg B$ , et $\neg(A \Rightarrow B) \equiv A \;\mathrm{et} \;\neg B$ .

La méthode

1
Je repère la structure logique de la proposition : quantificateurs, connecteurs ( $\mathrm{et}$ , $\mathrm{ou}$ , $\Rightarrow$ ) et le prédicat final.
2
Je parcours la proposition de gauche à droite en échangeant chaque $\forall$ en $\exists$ et chaque $\exists$ en $\forall$ , et en appliquant De Morgan aux connecteurs.
3
Je termine en niant le prédicat le plus interne (par exemple $\leq$ devient $>$ , $=$ devient $\neq$ , $<$ devient $\geq$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Écrire la négation de la proposition $P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y > 0, x < y$ .

Étape 1 —

Je repère la structure logique de la proposition : quantificateurs, connecteurs (

\mathrm{et}

\mathrm{ou}

\Rightarrow

) et le prédicat final.

La proposition est formée d'un $\forall$ extérieur, d'un $\exists$ intérieur, d'une condition $y > 0$ et d'un prédicat $x < y$ .

Étape 2 —

Je parcours la proposition de gauche à droite en échangeant chaque

\forall

\exists

et chaque

\exists

\forall

, et en appliquant De Morgan aux connecteurs.

Je commence par $\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \neg(\exists y > 0, x < y)$ , soit $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y > 0, \neg(x < y)$ .

Étape 3 —

Je termine en niant le prédicat le plus interne (par exemple

\leq

devient

>

=

devient

\neq

<

devient

\geq

Je nie le prédicat : $\neg(x < y)$ devient $x \geq y$ , d'où $\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \forall y > 0, \ x \geq y$ .

$\neg P : \exists x \in \mathbb{R}, \;\forall y > 0, \;x \geq y$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment formuler la négation d'une proposition ?

En échangeant les quantificateurs (∀↔∃\forall\leftrightarrow\exists∀↔∃) et en appliquant les lois de De Morgan

Pour comprendre, fais des exercices !

En échangeant les quantificateurs ( $\forall\leftrightarrow\exists$ ) et en appliquant les lois de De Morgan