Comment calculer une intégrale par changement de variable ?

En posant $u=\varphi(t)$ avec $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone et en substituant $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ (et les bornes)

L'objectif

Calculer une intégrale en effectuant un changement de variable $u=\varphi(t)$ qui simplifie l'intégrande.

Le principe

Si $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone sur $[a,b]$ et $f$ continue sur $\varphi([a,b])$ , alors $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\mathrm{d}u$ ; on pose $u=\varphi(t)$ , $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ et on change les bornes en conséquence.

La méthode

1
Je repère dans l'intégrande une expression $\varphi(t)$ accompagnée de $\varphi'(t)$ ou d'un facteur proportionnel, puis je pose $u=\varphi(t)$ en vérifiant que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone sur $[a,b]$ .
2
Je calcule $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ , je transforme l'intégrande en une expression en $u$ uniquement, et je change les bornes : $t=a\Rightarrow u=\varphi(a)$ et $t=b\Rightarrow u=\varphi(b)$ .
3
Je calcule la nouvelle intégrale $\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g(u)\mathrm{d}u$ à vue ou par une autre technique, puis je conclus.
Comment calculer une intégrale « à vue » en reconnaissant une primitive ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En posant u=φ(t)u=\varphi(t)u=φ(t) avec φ\varphiφ de classe C1\mathcal{C}^1C1 strictement monotone et en substituant du=φ′(t)dt\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}tdu=φ′(t)dt (et les bornes)

Exemple corrigé

En posant $u=\varphi(t)$ avec $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone et en substituant $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ (et les bornes)