Comment majorer ou minorer une intégrale ? | MetMat

Comment majorer ou minorer une intégrale ?

En intégrant une inégalité $f(t)\leq g(t)$ sur le segment $[a,b]$ pour obtenir $\int_a^b f\leq\int_a^b g$

Obtenir une majoration (ou minoration) d'une intégrale $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ en intégrant une inégalité ponctuelle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\int_0^1 e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 1$ .

L'objectif

Obtenir une majoration (ou minoration) d'une intégrale $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ en intégrant une inégalité ponctuelle.

Le principe

Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $a\leq b$ et $f(t)\leq g(t)$ pour tout $t\in[a,b]$ , alors $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\leq\int_a^b g(t)\mathrm{d}t$ (croissance de l'intégrale).

La méthode

1
Je choisis une fonction $g$ plus simple à intégrer que $f$ et j'établis l'inégalité $f(t)\leq g(t)$ (ou $f(t)\geq g(t)$ ) sur $[a,b]$ , à partir d'une étude de fonction ou d'inégalités classiques (ex. $e^{-x^2}\leq 1$ , $\frac{1}{1+x^n}\geq \frac{1}{2}$ sur $[0,1]$ ).
2
Je vérifie les hypothèses : $a\leq b$ , $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$ , puis j'intègre l'inégalité sur $[a,b]$ par croissance de l'intégrale.
3
Je calcule $\int_a^b g(t)\mathrm{d}t$ et je conclus sur la majoration (ou minoration) de $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\int_0^1 e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 1$ .

Étape 1 —

Je choisis une fonction

g

plus simple à intégrer que

f

et j'établis l'inégalité

f(t)\leq g(t)

(ou

f(t)\geq g(t)

) sur

[a,b]

, à partir d'une étude de fonction ou d'inégalités classiques (ex.

e^{-x^2}\leq 1

\frac{1}{1+x^n}\geq \frac{1}{2}

sur

[0,1]

Pour tout $x\in[0,1]$ , $x^2\geq 0$ donc $e^{-x^2}\leq e^0=1$ ; je pose donc $g(x)=1\geq f(x)=e^{-x^2}$ .

Étape 2 —

Je vérifie les hypothèses :

a\leq b

f

g

continues sur

[a,b]

, puis j'intègre l'inégalité sur

[a,b]

par croissance de l'intégrale.

$f$ et $g$ sont continues sur $[0,1]$ avec $0\leq 1$ , donc par croissance de l'intégrale : $\int_0^1 e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq\int_0^1 1\,\mathrm{d}x$ .

Étape 3 —

Je calcule

\int_a^b g(t)\mathrm{d}t

et je conclus sur la majoration (ou minoration) de

\int_a^b f(t)\mathrm{d}t

$\int_0^1 1\,\mathrm{d}x=1$ , d'où $\int_0^1 e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 1$ .

$\int_0^1 e^{-x^2}\mathrm{d}x\leq 1$ .

Application guidée

Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $\int_0^1 \frac{1}{1+x^n}\mathrm{d}x\geq\frac{1}{2}$ .

Application autonome 1

Montrer que $\int_1^2 \frac{e^{-x}}{x}\mathrm{d}x\leq e^{-1}\ln 2$ .

Application autonome 2

Montrer que $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\sqrt{t}}{1+t}\,\mathrm{d}t\leq \dfrac{2}{3}$ .

Application autonome 3

Soit $n\in\mathbb{N}$ . Montrer que $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\leq \dfrac{1}{n+1}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En intégrant une inégalité f(t)≤g(t)f(t)\leq g(t)f(t)≤g(t) sur le segment [a,b][a,b][a,b] pour obtenir ∫abf≤∫abg\int_a^b f\leq\int_a^b g∫ab​f≤∫ab​g

Pour comprendre, fais des exercices !

En intégrant une inégalité $f(t)\leq g(t)$ sur le segment $[a,b]$ pour obtenir $\int_a^b f\leq\int_a^b g$