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Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

En étudiant le signe de la différence un+1−unu_{n+1} - u_n

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite (un)(u_n) via le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n.

Le principe

Une suite (un)(u_n) est croissante (resp. décroissante) si et seulement si ∀n∈N, un+1−un≥0\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}-u_n\ge 0 (resp. ≤0\le 0) ; elle est strictement monotone si l'inégalité est stricte pour tout nn.

La méthode
  1. 1
    Je calcule la différence un+1−unu_{n+1}-u_n et je la simplifie (mise sur le même dénominateur, factorisation).
  2. 2
    J'étudie le signe de cette différence pour tout n∈Nn\in\mathbb{N} (ou à partir d'un certain rang), en utilisant éventuellement les propriétés connues des puissances, factorielles ou polynômes.
  3. 3
    Je conclus : si la différence est positive pour tout nn, la suite est croissante ; si elle est négative, décroissante.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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