Comment étudier la convexité/conc… : En étudiant le signe de f'' (convexe si… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment étudier la convexité/concavité d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ et ses points d'inflexion ?

En étudiant le signe de $f''$ (convexe si $f''\geq 0$ , concave si $f''\leq 0$ ) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $f$ et ses éventuels points d'inflexion.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convexité de $f(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $f$ et ses éventuels points d'inflexion.

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle $I$ , alors $f$ est convexe sur $I$ ssi $f''\geq 0$ sur $I$ , concave ssi $f''\leq 0$ ; un point $x_0\in I$ où $f''$ s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion (la courbe traverse sa tangente).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$ , puis je calcule $f'$ et $f''$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
2
J'étudie le signe de $f''(x)$ et je repère les zéros et changements de signe.
3
Je conclus : $f$ est convexe sur les intervalles où $f''\geq 0$ , concave là où $f''\leq 0$ , et les changements de signe de $f''$ donnent les points d'inflexion.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convexité de $f(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

I

, puis je calcule

f'

f''

$f=\exp$ est de classe $\mathcal{C}^2$ (et même $\mathcal{C}^\infty$ ) sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=e^x$ , $f''(x)=e^x$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de

f''(x)

et je repère les zéros et changements de signe.

$f''(x)=e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $f''$ ne s'annule jamais, aucun point d'inflexion.

Étape 3 —

Je conclus :

f

est convexe sur les intervalles où

f''\geq 0

, concave là où

f''\leq 0

, et les changements de signe de

f''

donnent les points d'inflexion.

$f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

$f(x)=e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ , sans point d'inflexion.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier la convexité/concavité d'une fonction de classe C2\mathcal{C}^2C2 et ses points d'inflexion ?

En étudiant le signe de f′′f''f′′ (convexe si f′′≥0f''\geq 0f′′≥0, concave si f′′≤0f''\leq 0f′′≤0) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment étudier la convexité/concavité d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ et ses points d'inflexion ?

En étudiant le signe de $f''$ (convexe si $f''\geq 0$ , concave si $f''\leq 0$ ) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion