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Comment montrer qu'une suite converge et déterminer sa limite ?

En encadrant la suite entre deux suites de même limite (théorème des gendarmes)

L'objectif

Montrer la convergence d'une suite dont l'expression comporte un terme borné non explicite (sinus, cosinus, (−1)n(-1)^n, partie entière…).

Le principe

Si an≤un≤bna_n\le u_n\le b_n à partir d'un certain rang et si an→ℓa_n\to\ell et bn→ℓb_n\to\ell, alors (un)(u_n) converge et lim⁡n→+∞un=ℓ\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.

La méthode
  1. 1
    J'identifie dans unu_n un terme borné (par exemple sin⁡n\sin n, cos⁡n\cos n, (−1)n(-1)^n) et j'encadre ce terme par des constantes.
  2. 2
    J'en déduis un encadrement an≤un≤bna_n\le u_n\le b_n valable à partir d'un certain rang, où (an)(a_n) et (bn)(b_n) sont explicitement calculables.
  3. 3
    Je vérifie que ana_n et bnb_n tendent vers la même limite ℓ\ell et j'applique le théorème des gendarmes pour conclure un→ℓu_n\to\ell.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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