Comment trouver les racines d'un trinôme du second degré et le factoriser ? | MetMat

Comment trouver les racines d'un trinôme du second degré et le factoriser ?

En calculant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et en factorisant lorsque $\Delta \geq 0$

Déterminer les racines réelles éventuelles de $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$ ) et en déduire la forme factorisée.

L'objectif

Déterminer les racines réelles éventuelles de $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$ ) et en déduire la forme factorisée.

Le principe

Pour $a\neq 0$ , le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ détermine le nombre de racines réelles : si $\Delta>0$ , deux racines distinctes $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ avec $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$ , une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ avec $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta<0$ , aucune racine réelle et pas de factorisation dans $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
J'identifie $a$ , $b$ et $c$ avec $a\neq 0$ , puis je calcule $\Delta=b^2-4ac$ .
2
Je discute selon le signe de $\Delta$ : si $\Delta>0$ je calcule $x_1$ et $x_2$ ; si $\Delta=0$ je calcule la racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ ; si $\Delta<0$ je conclus à l'absence de racines réelles.
3
J'écris la forme factorisée correspondante : $a(x-x_1)(x-x_2)$ , $a(x-x_0)^2$ ou pas de factorisation dans $\mathbb{R}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Factoriser dans $\mathbb{R}$ le trinôme $x^2-5x+6$ .

Étape 1 —

J'identifie

a

b

c

avec

a\neq 0

, puis je calcule

\Delta=b^2-4ac

On a $a=1$ , $b=-5$ , $c=6$ , donc $\Delta=(-5)^2-4\times 1\times 6=25-24=1$ .

Étape 2 —

Je discute selon le signe de

\Delta

: si

\Delta>0

je calcule

x_1

x_2

; si

\Delta=0

je calcule la racine double

x_0=-\dfrac{b}{2a}

; si

\Delta<0

je conclus à l'absence de racines réelles.

$\Delta=1>0$ , donc deux racines $x_1=\dfrac{5-1}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{5+1}{2}=3$ .

Étape 3 —

J'écris la forme factorisée correspondante :

a(x-x_1)(x-x_2)

a(x-x_0)^2

ou pas de factorisation dans

\mathbb{R}

Donc $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ .

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ .

Application guidée

Étudier les racines réelles de $2x^2-3x+5$ .

Application autonome 1

Factoriser $x^2-4x+4$ .

Application autonome 2

Factoriser $-2x^2+4x+6$ .

Application autonome 3

Factoriser dans $\mathbb{R}$ le trinôme $3x^2-10x+3$ .

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En calculant le discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac et en factorisant lorsque Δ≥0\Delta \geq 0Δ≥0

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et en factorisant lorsque $\Delta \geq 0$