Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ? | MetMat

Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?

En décomposant un vecteur générique de $F$ comme combinaison linéaire pour exhiber des générateurs

L'objectif

Exhiber une famille génératrice de $F$ puis en déduire une base et la dimension de $F$ .

Le principe

Si un vecteur générique de $F$ s'écrit $x=\sum_{i=1}^p t_i u_i$ avec des scalaires libres $t_1,\dots,t_p\in\mathbb{R}$ , alors $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ ; si de plus la famille $(u_1,\dots,u_p)$ est libre, c'est une base de $F$ et $\dim F=p$ .

La méthode

1
Je paramètre les vecteurs de $F$ en utilisant les équations qui le définissent pour exprimer un vecteur générique en fonction d'un certain nombre de paramètres libres.
2
Je factorise l'expression obtenue par les paramètres libres pour faire apparaître une écriture $x=t_1 u_1+\dots+t_p u_p$ , et j'en déduis que $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ .
3
Je vérifie que la famille $(u_1,\dots,u_p)$ est libre, et je conclus qu'elle est une base de $F$ de dimension $p$ .
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Déterminer une base et la dimension de $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ .

Application guidée 2

Déterminer une base et la dimension de $G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-y=0\text{ et }z+t=0\}$ .

Application autonome 1

Déterminer une base et la dimension de $H=\{(a+b,a-b,2a)\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}\subset\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 2

Déterminer une base et la dimension de $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x-y+z=0\}$ .

Application autonome 3

Déterminer une base et la dimension de $G=\{(a-b,a+b,2a-b,3b)\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}\subset\mathbb{R}^4$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En décomposant un vecteur générique de FFF comme combinaison linéaire pour exhiber des générateurs

Évalue la méthode

En décomposant un vecteur générique de $F$ comme combinaison linéaire pour exhiber des générateurs