Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène $y''+ay'+by=0$ (racines réelles) ?

En formant l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ et en écrivant la solution $\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ (racines simples) ou $(\alpha+\beta t)e^{rt}$ (racine double)

L'objectif

Exprimer toutes les solutions réelles de $y''+ay'+by=0$ à l'aide des racines réelles de l'équation caractéristique.

Le principe

Pour $y''+ay'+by=0$ ( $a,b\in\mathbb{R}$ constants), on associe l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ de discriminant $\Delta=a^2-4b$ : si $\Delta>0$ (deux racines réelles distinctes $r_1,r_2$ ), les solutions sont $y(t)=\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ ; si $\Delta=0$ (racine double $r$ ), les solutions sont $y(t)=(\alpha+\beta t)e^{rt}$ , avec $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

La méthode

1
Je vérifie que l'équation est linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants, j'identifie $a$ et $b$ puis j'écris l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ .
2
Je calcule le discriminant $\Delta=a^2-4b$ et je détermine les racines réelles (on se place ici dans le cas $\Delta\geq 0$ ).
3
Je conclus : si $\Delta>0$ avec racines $r_1\neq r_2$ , la solution générale est $y(t)=\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ ; si $\Delta=0$ avec racine double $r$ , la solution générale est $y(t)=(\alpha+\beta t)e^{rt}$ , $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En formant l'équation caractéristique r2+ar+b=0r^2+ar+b=0r2+ar+b=0 et en écrivant la solution αer1t+βer2t\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}αer1​t+βer2​t (racines simples) ou (α+βt)ert(\alpha+\beta t)e^{rt}(α+βt)ert (racine double)

Exemple corrigé

En formant l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ et en écrivant la solution $\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ (racines simples) ou $(\alpha+\beta t)e^{rt}$ (racine double)