Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène $y''+ay'+by=0$ (racines réelles) ? | MetMat

Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 homogène $y''+ay'+by=0$ (racines réelles) ?

En formant l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ et en écrivant la solution $\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ (racines simples) ou $(\alpha+\beta t)e^{rt}$ (racine double)

Exprimer toutes les solutions réelles de $y''+ay'+by=0$ à l'aide des racines réelles de l'équation caractéristique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-3y'+2y=0$ .

L'objectif

Exprimer toutes les solutions réelles de $y''+ay'+by=0$ à l'aide des racines réelles de l'équation caractéristique.

Le principe

Pour $y''+ay'+by=0$ ( $a,b\in\mathbb{R}$ constants), on associe l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ de discriminant $\Delta=a^2-4b$ : si $\Delta>0$ (deux racines réelles distinctes $r_1,r_2$ ), les solutions sont $y(t)=\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ ; si $\Delta=0$ (racine double $r$ ), les solutions sont $y(t)=(\alpha+\beta t)e^{rt}$ , avec $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

La méthode

1
Je vérifie que l'équation est linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants, j'identifie $a$ et $b$ puis j'écris l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ .
2
Je calcule le discriminant $\Delta=a^2-4b$ et je détermine les racines réelles (on se place ici dans le cas $\Delta\geq 0$ ).
3
Je conclus : si $\Delta>0$ avec racines $r_1\neq r_2$ , la solution générale est $y(t)=\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ ; si $\Delta=0$ avec racine double $r$ , la solution générale est $y(t)=(\alpha+\beta t)e^{rt}$ , $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-3y'+2y=0$ .

Étape 1 —

Je vérifie que l'équation est linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants, j'identifie

a

b

puis j'écris l'équation caractéristique

r^2+ar+b=0

Équation linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants. L'équation caractéristique est $r^2-3r+2=0$ .

Étape 2 —

Je calcule le discriminant

\Delta=a^2-4b

et je détermine les racines réelles (on se place ici dans le cas

\Delta\geq 0

Discriminant $\Delta=9-8=1>0$ , racines $r_1=\frac{3-1}{2}=1$ et $r_2=\frac{3+1}{2}=2$ .

Étape 3 —

Je conclus : si

\Delta>0

avec racines

r_1\neq r_2

, la solution générale est

y(t)=\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}

; si

\Delta=0

avec racine double

r

, la solution générale est

y(t)=(\alpha+\beta t)e^{rt}

(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2

La solution générale est $y(t)=\alpha e^{t}+\beta e^{2t}$ , $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

$y(t)=\alpha e^{t}+\beta e^{2t}$ , $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ .

Application guidée

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-2y'+y=0$ .

Application autonome 1

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-4y=0$ .

Application autonome 2

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''+y'-6y=0$ .

Application autonome 3

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-5y'+6y=0$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En formant l'équation caractéristique r2+ar+b=0r^2+ar+b=0r2+ar+b=0 et en écrivant la solution αer1t+βer2t\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}αer1​t+βer2​t (racines simples) ou (α+βt)ert(\alpha+\beta t)e^{rt}(α+βt)ert (racine double)

Pour comprendre, fais des exercices !

En formant l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ et en écrivant la solution $\alpha e^{r_1 t}+\beta e^{r_2 t}$ (racines simples) ou $(\alpha+\beta t)e^{rt}$ (racine double)