Comment montrer qu'une famille d'événements est un système complet d'événements ?

En vérifiant que les $A_i$ sont deux à deux incompatibles ( $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\neq j$ ) et que $\bigcup A_i = \Omega$

L'objectif

Établir qu'une famille finie $(A_i)_{1\le i\le k}$ d'événements d'un univers fini $\Omega$ forme un système complet d'événements (SCE).

Le principe

Une famille finie $(A_i)_{1\le i\le k}$ d'événements de $\Omega$ est un système complet d'événements si et seulement si les $A_i$ sont deux à deux incompatibles ( $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\neq j$ ) et leur réunion recouvre $\Omega$ ( $\bigcup_{i=1}^{k} A_i=\Omega$ ) ; certains auteurs imposent de plus $A_i\neq\varnothing$ pour tout $i$ .

La méthode

1
Je précise l'univers fini $\Omega$ considéré et je liste clairement les événements $A_1,\dots,A_k$ dont je veux vérifier qu'ils forment un SCE.
2
Je vérifie l'incompatibilité deux à deux : pour tous $i\neq j$ , je montre que $A_i\cap A_j=\varnothing$ (en caractérisant les événements par leurs résultats élémentaires).
3
Je vérifie le recouvrement $\bigcup_{i=1}^{k} A_i=\Omega$ (tout résultat de $\Omega$ appartient à au moins un $A_i$ ) et je conclus que $(A_i)$ est un SCE.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant que les AiA_iAi​ sont deux à deux incompatibles (Ai∩Aj=∅A_i\cap A_j=\varnothingAi​∩Aj​=∅ pour i≠ji\neq ji=j) et que ⋃Ai=Ω\bigcup A_i = \Omega⋃Ai​=Ω

Exemple corrigé

En vérifiant que les $A_i$ sont deux à deux incompatibles ( $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\neq j$ ) et que $\bigcup A_i = \Omega$