Comment compter les chemins de… : En calculant A^d et en lisant le… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment compter les chemins de longueur $d$ à l'aide de la matrice d'adjacence ?

En calculant $A^d$ et en lisant le coefficient $(i,j)$ comme nombre de chemins de longueur $d$ de $i$ vers $j$

Dénombrer les chemins de longueur exactement $d$ reliant deux sommets d'un graphe grâce aux puissances de sa matrice d'adjacence.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit le graphe orienté à $3$ sommets de matrice $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Déterminer le nombre de chemins de longueur $2$ de $1$ vers $3$ .

L'objectif

Dénombrer les chemins de longueur exactement $d$ reliant deux sommets d'un graphe grâce aux puissances de sa matrice d'adjacence.

Le principe

Si $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est la matrice d'adjacence d'un graphe (orienté ou non) dont les sommets sont numérotés $1,\dots,n$ , alors pour tout entier $d\ge 1$ , le coefficient $(A^d)_{i,j}$ est égal au nombre de chemins de longueur $d$ de $i$ vers $j$ .

La méthode

1
J'identifie la matrice d'adjacence $A$ du graphe et la longueur $d$ souhaitée pour les chemins.
Comment construire la matrice d'adjacence d'un graphe (orienté ou non) ?Voir
2
Je calcule la puissance $A^d$ par multiplications successives ( $A^2=A\cdot A$ , $A^3=A^2\cdot A$ , etc.).
Comment calculer les puissances $n$-èmes d'une matrice carrée ?Voir
3
Je lis le coefficient $(A^d)_{i,j}$ pour obtenir le nombre de chemins de longueur $d$ de $i$ vers $j$ , et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit le graphe orienté à $3$ sommets de matrice $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Déterminer le nombre de chemins de longueur $2$ de $1$ vers $3$ .

Étape 1 —

J'identifie la matrice d'adjacence

A

du graphe et la longueur

d

souhaitée pour les chemins.

La matrice $A$ est donnée et on cherche $d=2$ pour le trajet de $1$ à $3$ .

Étape 2 —

Je calcule la puissance

A^d

par multiplications successives (

A^2=A\cdot A

A^3=A^2\cdot A

, etc.).

Je calcule $A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je lis le coefficient

(A^d)_{i,j}

pour obtenir le nombre de chemins de longueur

d

i

vers

j

, et je conclus.

Le coefficient $(A^2)_{1,3}=1$ , donc il y a exactement $1$ chemin de longueur $2$ de $1$ vers $3$ (c'est le chemin $1\to 2\to 3$ ).

$1$ chemin de longueur $2$ de $1$ vers $3$ .

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Comment compter les chemins de longueur ddd à l'aide de la matrice d'adjacence ?

En calculant AdA^dAd et en lisant le coefficient (i,j)(i,j)(i,j) comme nombre de chemins de longueur ddd de iii vers jjj

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment compter les chemins de longueur $d$ à l'aide de la matrice d'adjacence ?

En calculant $A^d$ et en lisant le coefficient $(i,j)$ comme nombre de chemins de longueur $d$ de $i$ vers $j$