Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ?

En exploitant la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ pour simplifier le calcul

L'objectif

Calculer efficacement $\binom{n}{p}$ lorsque $p$ est proche de $n$ en utilisant la symétrie pour se ramener à un calcul avec moins de facteurs.

Le principe

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ et $0\le p\le n$ , on a $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ , ce qui permet de remplacer un calcul avec $p$ facteurs par un calcul avec $n-p$ facteurs.

La méthode

1
Je compare $p$ et $n-p$ et je choisis le plus petit des deux : si $p>n/2$ , je pose $q=n-p$ plus petit.
2
J'applique la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ pour remplacer le calcul demandé par un calcul avec moins de facteurs.
3
Je calcule $\binom{n}{n-p}$ par la formule factorielle $\binom{n}{q}=\frac{n(n-1)\cdots(n-q+1)}{q!}$ et je donne la valeur exacte.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En exploitant la symétrie (np)=(nn−p)\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}(pn​)=(n−pn​) pour simplifier le calcul

Exemple corrigé

En exploitant la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ pour simplifier le calcul