MetMat
← Retour aux méthodes

Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?

En prouvant la convergence de ∑∣un∣\sum |u_n| (série à termes positifs) pour conclure à la convergence de ∑un\sum u_n

L'objectif

Établir la convergence d'une série ∑un\sum u_n à termes de signe quelconque en démontrant la convergence de la série des valeurs absolues.

Le principe

On admet le résultat : si la série ∑∣un∣\sum |u_n| converge, alors la série ∑un\sum u_n converge ; dans ce cas, on dit que ∑un\sum u_n converge absolument. Pour établir la convergence de ∑∣un∣\sum |u_n| (qui est à termes positifs), on majore ∣un∣|u_n| par le terme général d'une série convergente connue (typiquement géométrique de raison ∣q∣<1|q|<1, ou exponentielle).

La méthode
  1. 1
    J'écris ∣un∣|u_n| et je cherche une majoration de la forme ∣un∣≤vn|u_n|\le v_n où (vn)(v_n) est à termes positifs, valide à partir d'un certain rang.
  2. 2
    Je prouve que la série ∑vn\sum v_n converge (typiquement série géométrique de raison ∣q∣<1|q|<1 avec ∣q∣<1|q|<1, ou série exponentielle ∑ann!\sum \frac{a^n}{n!}).
    Voir
  3. 3
    Par comparaison de séries à termes positifs, j'en déduis que ∑∣un∣\sum |u_n| converge, puis je conclus par le théorème de convergence absolue que ∑un\sum u_n converge.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.