Comment calculer explicitement… : En résolvant l'équation caractéristique… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer explicitement le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (racines réelles) ?

En résolvant l'équation caractéristique $r^2 = ar + b$ et en formant la combinaison linéaire des solutions (racines simples distinctes ou racine double)

Exprimer explicitement le terme général d'une suite vérifiant $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ lorsque l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ admet des racines réelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ , $u_1=1$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$ . Exprimer $u_n$ .

L'objectif

Exprimer explicitement le terme général d'une suite vérifiant $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ lorsque l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ admet des racines réelles.

Le principe

Soit $r^2-ar-b=0$ l'équation caractéristique associée à $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$ . Si elle admet deux racines réelles distinctes $r_1,r_2$ , alors $\exists!(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\ u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ ; si elle admet une racine double $r$ , alors $\exists!(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\ u_n=(\lambda+\mu n)r^n$ .

La méthode

1
J'écris l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ , soit $r^2-ar-b=0$ , et je calcule son discriminant $\Delta=a^2+4b$ .
Comment trouver les racines d'un trinôme du second degré et le factoriser ?Voir
2
Je discute selon le signe de $\Delta$ : si $\Delta>0$ , deux racines réelles distinctes $r_1,r_2$ et $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ ; si $\Delta=0$ , une racine double $r=\frac{a}{2}$ et $u_n=(\lambda+\mu n)r^n$ .
3
Je détermine les constantes $\lambda$ et $\mu$ en résolvant le système fourni par les deux conditions initiales $u_0$ et $u_1$ , puis j'écris l'expression finale de $u_n$ .
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ , $u_1=1$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$ . Exprimer $u_n$ .

Étape 1 —

J'écris l'équation caractéristique

r^2=ar+b

, soit

r^2-ar-b=0

, et je calcule son discriminant

\Delta=a^2+4b

L'équation caractéristique est $r^2=r+2$ , soit $r^2-r-2=0$ , de discriminant $\Delta=1+8=9>0$ .

Étape 2 —

Je discute selon le signe de

\Delta

: si

\Delta>0

, deux racines réelles distinctes

r_1,r_2

u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n

; si

\Delta=0

, une racine double

r=\frac{a}{2}

u_n=(\lambda+\mu n)r^n

Les racines sont $r_1=\frac{1+3}{2}=2$ et $r_2=\frac{1-3}{2}=-1$ , donc $u_n=\lambda\cdot 2^n+\mu\cdot(-1)^n$ .

Étape 3 —

Je détermine les constantes

\lambda

\mu

en résolvant le système fourni par les deux conditions initiales

u_0

u_1

, puis j'écris l'expression finale de

u_n

Les conditions $u_0=\lambda+\mu=0$ et $u_1=2\lambda-\mu=1$ donnent $\lambda=\frac{1}{3}$ et $\mu=-\frac{1}{3}$ , d'où $u_n=\frac{2^n-(-1)^n}{3}$ .

$u_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}$ .

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Comment calculer explicitement le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (racines réelles) ?

En résolvant l'équation caractéristique r2=ar+br^2 = ar + br2=ar+b et en formant la combinaison linéaire des solutions (racines simples distinctes ou racine double)

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation caractéristique $r^2 = ar + b$ et en formant la combinaison linéaire des solutions (racines simples distinctes ou racine double)