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Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En exhibant une constante MM et en la démontrant par récurrence

L'objectif

Démontrer qu'une suite définie par récurrence est majorée (ou minorée) par une constante MM via un raisonnement par récurrence.

Le principe

Pour une suite (un)(u_n) définie par récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), si ff laisse stable l'intervalle (−∞,M](-\infty,M] (resp. [m,+∞)[m,+\infty)) et u0∈(−∞,M]u_0\in(-\infty,M] (resp. u0∈[m,+∞)u_0\in[m,+\infty)), alors par récurrence ∀n∈N, un≤M\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\le M (resp. un≥mu_n\ge m).

La méthode
  1. 1
    Je pose la propriété P(n): un≤MP(n):\ u_n\le M (ou un≥mu_n\ge m, ou m≤un≤Mm\le u_n\le M pour la bornitude), et je vérifie l'initialisation P(0)P(0) à partir de u0u_0.
    Voir
  2. 2
    Je suppose P(n)P(n) vraie (hypothèse de récurrence) pour un nn fixé, puis je montre que P(n+1)P(n+1) en est conséquence en exploitant la relation un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et la monotonie ou les inégalités sur ff.
  3. 3
    Je conclus par le principe de récurrence : ∀n∈N, P(n)\forall n\in\mathbb{N},\ P(n), donc la suite est majorée (resp. minorée, bornée).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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