Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?

En reconnaissant une somme télescopique ou une formule classique ( $\sum k$ , $\sum k^2$ , $\sum q^k$ )

L'objectif

Calculer la valeur exacte d'une somme finie en reconnaissant une formule classique ou en la télescopant.

Le principe

Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ , $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\neq 1$ , $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ , et toute somme du type $\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)$ se simplifie en $a_{n+1}-a_1$ .

La méthode

1
J'analyse la forme du terme général $u_k$ pour identifier si la somme correspond à une formule classique ou si elle peut s'écrire sous forme télescopique $u_k=a_{k+1}-a_k$ .
2
J'applique la formule reconnue, ou je décompose $u_k$ (par exemple en éléments simples) pour faire apparaître un télescopage.
3
Je simplifie l'expression obtenue pour obtenir une formule close, et je vérifie sur un petit cas ( $n=1$ ou $n=2$ ).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En reconnaissant une somme télescopique ou une formule classique (∑k\sum k∑k, ∑k2\sum k^2∑k2, ∑qk\sum q^k∑qk)

Exemple corrigé

En reconnaissant une somme télescopique ou une formule classique ( $\sum k$ , $\sum k^2$ , $\sum q^k$ )