Comment montrer qu'une suite converge et déterminer sa limite ?

Je montre par récurrence que $0\le u_n\le 2$ : $u_0=1\in[0,2]$, et si $u_n\in[0,2]$ alors $u_n+2\in[2,4]$ donc $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\in[\sqrt{2},2]\subset[0,2]$.

$u_{n+1}^2-u_n^2=(u_n+2)-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge 0$ sur $[0,2]$, et $u_n\ge 0$, donc $u_{n+1}\ge u_n$ : $(u_n)$ est croissante.

Croissante et majorée par $2$, elle converge vers $\ell\in[1,2]$ ; en passant à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ (fonction $\sqrt{\cdot+2}$ continue), $\ell=\sqrt{\ell+2}$ donc $\ell^2-\ell-2=0$, soit $\ell=2$ (racine positive).