Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?

En identifiant $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ puis en calculant $P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X$ suit la loi uniforme sur $\{-2,-1,0,1,2\}$ . Déterminer la loi de $Y=X^2$ .

La méthode

1
Je détermine $Y(\Omega)=g(X(\Omega))=\{g(x)\mid x\in X(\Omega)\}$ en calculant les images des valeurs prises par $X$ .
2
Pour chaque $y\in Y(\Omega)$ , je recense l'ensemble $g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)$ des antécédents de $y$ par $g$ parmi les valeurs de $X$ .
3
Je calcule $P(Y=y)=\sum_{x\in g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)} P(X=x)$ et je vérifie que $\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1$ .
Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

$X$ suit la loi uniforme sur $\{-2,-1,0,1,2\}$ . Déterminer la loi de $Y=X^2$ .

1

$X(\Omega)=\{-2,-1,0,1,2\}$ donc $Y(\Omega)=g(X(\Omega))=\{0,1,4\}$ (images par $x\mapsto x^2$ ).

2

Antécédents : $g^{-1}(\{0\})=\{0\}$ , $g^{-1}(\{1\})=\{-1,1\}$ , $g^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}$ .

3

Comme $X\sim\mathcal{U}(\{-2,\dots,2\})$ , $P(X=k)=\frac{1}{5}$ pour chaque $k$ , d'où $P(Y=0)=\frac{1}{5}$ , $P(Y=1)=\frac{2}{5}$ , $P(Y=4)=\frac{2}{5}$ .

$P(Y=0)=\frac{1}{5}$ , $P(Y=1)=\frac{2}{5}$ , $P(Y=4)=\frac{2}{5}$ .

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Comment déterminer la loi de Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X) ?

En identifiant Y(Ω)=g(X(Ω))Y(\Omega)=g(X(\Omega))Y(Ω)=g(X(Ω)) puis en calculant P(Y=y)=∑x: g(x)=yP(X=x)P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)P(Y=y)=∑x:g(x)=y​P(X=x)

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?

En identifiant $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ puis en calculant $P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)$