Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?

En identifiant $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ puis en calculant $P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)$

L'objectif

Déterminer la loi d'une variable aléatoire $Y=g(X)$ à partir de la loi connue de $X$ et d'une fonction $g$ définie sur $X(\Omega)$ .

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire discrète de loi connue et $g$ une fonction définie sur $X(\Omega)$ , alors $Y=g(X)$ est une variable aléatoire discrète de support $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ , et pour tout $y\in Y(\Omega)$ , $P(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega),\,g(x)=y} P(X=x)$ en regroupant les antécédents.

La méthode

1
Je détermine $Y(\Omega)=g(X(\Omega))=\{g(x)\mid x\in X(\Omega)\}$ en calculant les images des valeurs prises par $X$ .
2
Pour chaque $y\in Y(\Omega)$ , je recense l'ensemble $g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)$ des antécédents de $y$ par $g$ parmi les valeurs de $X$ .
3
Je calcule $P(Y=y)=\sum_{x\in g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)} P(X=x)$ et je vérifie que $\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1$ .
Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En identifiant Y(Ω)=g(X(Ω))Y(\Omega)=g(X(\Omega))Y(Ω)=g(X(Ω)) puis en calculant P(Y=y)=∑x: g(x)=yP(X=x)P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)P(Y=y)=∑x:g(x)=y​P(X=x)

Exemple corrigé

En identifiant $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ puis en calculant $P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)$