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Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?

En appliquant directement les sommes connues : ∑n=0+∞qn=11−q\sum_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1}{1-q}, ∑n=1+∞nqn−1=1(1−q)2\sum_{n=1}^{+\infty} nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2} pour ∣q∣<1|q|<1, et ∑n=0+∞xnn!=ex\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x

L'objectif

Calculer la somme d'une série en identifiant qu'elle se ramène, par un changement d'indice ou une factorisation, à une série usuelle au programme.

Le principe

On dispose des sommes usuelles : pour ∣q∣<1|q|<1, ∑n=0+∞qn=11−q\sum_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1}{1-q} et ∑n=1+∞nqn−1=1(1−q)2\sum_{n=1}^{+\infty} nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2} ; pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}, ∑n=0+∞xnn!=ex\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}=e^x. L'hypothèse ∣q∣<1|q|<1 est indispensable pour les séries géométriques et leur dérivée.

La méthode
  1. 1
    J'identifie la forme de la série : puissance qnq^n, nqn−1nq^{n-1}, ou xnn!\frac{x^n}{n!} ; je note la raison qq (ou le paramètre xx) et l'indice de départ.
  2. 2
    Je vérifie les hypothèses de validité : pour une série géométrique ou sa dérivée, ∣q∣<1|q|<1 ; la série exponentielle converge pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}.
  3. 3
    Je me ramène à l'indice standard (éventuellement par changement d'indice ou factorisation), puis j'applique la formule close et je conclus.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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