Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ? | MetMat

Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ?

En appliquant la formule de Koenig-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$

Calculer la variance d'une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre $2$ via la formule de Koenig-Huygens.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X$ suit la loi donnée par $P(X=0)=0{,}5$ , $P(X=1)=0{,}3$ , $P(X=2)=0{,}2$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

L'objectif

Calculer la variance d'une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre $2$ via la formule de Koenig-Huygens.

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre $2$ (c'est-à-dire $E(X^2)$ existe, ce qui entraîne l'existence de $E(X)$ ), alors $X$ admet une variance donnée par $V(X)=E(X^2)-E(X)^2\ge 0$ ; l'écart-type vaut $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ admet un moment d'ordre $2$ (automatique si le support est fini) et je calcule $E(X)$ .
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?Voir
2
Je calcule $E(X^2)=\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 P(X=x)$ (par transfert) en reconnaissant éventuellement une série usuelle.
Comment appliquer le théorème de transfert pour calculer $E(g(X))$ ?Voir
3
J'applique $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ , je vérifie la positivité, puis j'en déduis $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

$X$ suit la loi donnée par $P(X=0)=0{,}5$ , $P(X=1)=0{,}3$ , $P(X=2)=0{,}2$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

admet un moment d'ordre

2

(automatique si le support est fini) et je calcule

E(X)

Support fini, donc $E(X)$ et $E(X^2)$ existent ; $E(X)=0\cdot 0{,}5+1\cdot 0{,}3+2\cdot 0{,}2=0{,}7$ .

Étape 2 —

Je calcule

E(X^2)=\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 P(X=x)

(par transfert) en reconnaissant éventuellement une série usuelle.

$E(X^2)=0^2\cdot 0{,}5+1^2\cdot 0{,}3+2^2\cdot 0{,}2=0{,}3+0{,}8=1{,}1$ .

Étape 3 —

J'applique

V(X)=E(X^2)-E(X)^2

, je vérifie la positivité, puis j'en déduis

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=1{,}1-0{,}49=0{,}61$ , et $\sigma(X)=\sqrt{0{,}61}\approx 0{,}781$ .

$V(X)=0{,}61$ , $\sigma(X)=\sqrt{0{,}61}$ .

Application guidée

$X\sim\mathcal{U}([\![1,6]\!])$ (dé équilibré). Calculer $V(X)$ via Koenig-Huygens.

Application autonome 1

$X\sim\mathcal{B}(p)$ (Bernoulli). Retrouver $V(X)=p(1-p)$ via Koenig-Huygens.

Application autonome 2

$X$ suit la loi uniforme sur $\{-1,0,1,2\}$ . Calculer $V(X)$ via Koenig-Huygens.

Application autonome 3

$X\sim\mathcal{B}(n,p)$ . Retrouver $V(X)=np(1-p)$ via Koenig-Huygens (on admet $E(X)=np$ et $E(X(X-1))=n(n-1)p^2$ ).

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant la formule de Koenig-Huygens V(X)=E(X2)−E(X)2V(X)=E(X^2)-E(X)^2V(X)=E(X2)−E(X)2

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la formule de Koenig-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$