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Espaces probabilisés et variables aléatoires discrètes — cours et… | MetMat
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ECG 1ère année Maths Appliquées
ECG 1ère année Maths Appliquées
Espaces probabilisés et variables aléatoires discrètes
Espaces probabilisés, variables aléatoires discrètes (finies ou infinies), moments (espérance, variance, transfert), lois usuelles (Bernoulli, binomiale, uniforme, géométrique, Poisson) et généralisation des formules de probabilités.
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1
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Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ?
En listant
X
(
Ω
)
X(\Omega)
X
(
Ω
)
et en calculant chaque
P
(
X
=
x
)
P(X=x)
P
(
X
=
x
)
via un SCE ou un dénombrement
Nouveau
En vérifiant que
P
(
X
=
x
)
≥
0
P(X=x)\geq 0
P
(
X
=
x
)
≥
0
pour tout
x
x
x
et que
∑
x
∈
X
(
Ω
)
P
(
X
=
x
)
=
1
\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1
∑
x
∈
X
(
Ω
)
P
(
X
=
x
)
=
1
Nouveau
Comment déterminer la loi de
Y
=
g
(
X
)
Y=g(X)
Y
=
g
(
X
)
?
Nouveau
Comment reconnaître une loi usuelle dans une modélisation ?
Nouveau
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?
En appliquant
E
(
X
)
=
∑
x
∈
X
(
Ω
)
x
P
(
X
=
x
)
E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)
E
(
X
)
=
∑
x
∈
X
(
Ω
)
x
P
(
X
=
x
)
(en vérifiant la convergence absolue si
X
(
Ω
)
X(\Omega)
X
(
Ω
)
est infini)
Nouveau
En utilisant les espérances connues des lois usuelles (
E
(
B
(
n
,
p
)
)
=
n
p
E(\mathcal{B}(n,p))=np
E
(
B
(
n
,
p
))
=
n
p
,
E
(
G
(
p
)
)
=
1
/
p
E(\mathcal{G}(p))=1/p
E
(
G
(
p
))
=
1/
p
,
E
(
P
(
λ
)
)
=
λ
E(\mathcal{P}(\lambda))=\lambda
E
(
P
(
λ
))
=
λ
, etc.)
Nouveau
Comment calculer la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ?
En appliquant la formule de Koenig-Huygens
V
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
E
(
X
)
2
V(X)=E(X^2)-E(X)^2
V
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
E
(
X
)
2
Nouveau
En utilisant la stabilité
V
(
a
X
+
b
)
=
a
2
V
(
X
)
V(aX+b)=a^2V(X)
V
(
a
X
+
b
)
=
a
2
V
(
X
)
ou les variances des lois usuelles
Nouveau
Comment appliquer le théorème de transfert pour calculer
E
(
g
(
X
)
)
E(g(X))
E
(
g
(
X
))
?
Nouveau
Comment appliquer la formule des probabilités totales sur un SCE dénombrable ?
Nouveau
Reconnaître
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
Résoudre
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.