L'objectif

Calculer l'espérance d'une variable $Y=g(X)$ directement à partir de la loi de $X$ , sans déterminer celle de $Y$ .

Le principe

Théorème de transfert : si $X$ est une variable aléatoire discrète et $g$ une fonction définie sur $X(\Omega)$ , alors $g(X)$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ est absolument convergente (automatique si $X(\Omega)$ est fini), et dans ce cas $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ .

La méthode

1
J'identifie la loi de $X$ (support $X(\Omega)$ et probabilités $P(X=x)$ ) et j'explicite la fonction $g$ à appliquer.
2
Si $X(\Omega)$ est infini, je vérifie la convergence absolue de $\sum_{x\in X(\Omega)} |g(x)|P(X=x)$ avant toute manipulation de la somme.
Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?Voir
3
Je calcule $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ en reconnaissant éventuellement une série usuelle (géométrique dérivée, exponentielle, binôme).
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir

Comment appliquer le théorème de transfert pour calculer $E(g(X))$ ?

En calculant $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ (convergence absolue requise si $X(\Omega)$ infini)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer le théorème de transfert pour calculer E(g(X))E(g(X))E(g(X)) ?

En calculant E(g(X))=∑x∈X(Ω)g(x)P(X=x)E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)E(g(X))=∑x∈X(Ω)​g(x)P(X=x) (convergence absolue requise si X(Ω)X(\Omega)X(Ω) infini)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer le théorème de transfert pour calculer $E(g(X))$ ?

En calculant $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ (convergence absolue requise si $X(\Omega)$ infini)