Comment déterminer la loi de… : En identifiant Y(Omega)=g(X(Omega)) puis… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment déterminer la loi de $Y=g(X)$ ?

En identifiant $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ puis en calculant $P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)$

Déterminer la loi d'une variable aléatoire $Y=g(X)$ à partir de la loi connue de $X$ et d'une fonction $g$ définie sur $X(\Omega)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X$ suit la loi uniforme sur $\{-2,-1,0,1,2\}$ . Déterminer la loi de $Y=X^2$ .

L'objectif

Déterminer la loi d'une variable aléatoire $Y=g(X)$ à partir de la loi connue de $X$ et d'une fonction $g$ définie sur $X(\Omega)$ .

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire discrète de loi connue et $g$ une fonction définie sur $X(\Omega)$ , alors $Y=g(X)$ est une variable aléatoire discrète de support $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ , et pour tout $y\in Y(\Omega)$ , $P(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega),\,g(x)=y} P(X=x)$ en regroupant les antécédents.

La méthode

1
Je détermine $Y(\Omega)=g(X(\Omega))=\{g(x)\mid x\in X(\Omega)\}$ en calculant les images des valeurs prises par $X$ .
2
Pour chaque $y\in Y(\Omega)$ , je recense l'ensemble $g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)$ des antécédents de $y$ par $g$ parmi les valeurs de $X$ .
3
Je calcule $P(Y=y)=\sum_{x\in g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)} P(X=x)$ et je vérifie que $\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1$ .
Comment calculer une somme ou un produit indexé par un ensemble fini ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

$X$ suit la loi uniforme sur $\{-2,-1,0,1,2\}$ . Déterminer la loi de $Y=X^2$ .

Étape 1 —

Je détermine

Y(\Omega)=g(X(\Omega))=\{g(x)\mid x\in X(\Omega)\}

en calculant les images des valeurs prises par

X

$X(\Omega)=\{-2,-1,0,1,2\}$ donc $Y(\Omega)=g(X(\Omega))=\{0,1,4\}$ (images par $x\mapsto x^2$ ).

Étape 2 —

Pour chaque

y\in Y(\Omega)

, je recense l'ensemble

g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)

des antécédents de

y

par

g

parmi les valeurs de

X

Antécédents : $g^{-1}(\{0\})=\{0\}$ , $g^{-1}(\{1\})=\{-1,1\}$ , $g^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}$ .

Étape 3 —

Je calcule

P(Y=y)=\sum_{x\in g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)} P(X=x)

et je vérifie que

\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1

Comme $X\sim\mathcal{U}(\{-2,\dots,2\})$ , $P(X=k)=\frac{1}{5}$ pour chaque $k$ , d'où $P(Y=0)=\frac{1}{5}$ , $P(Y=1)=\frac{2}{5}$ , $P(Y=4)=\frac{2}{5}$ .

$P(Y=0)=\frac{1}{5}$ , $P(Y=1)=\frac{2}{5}$ , $P(Y=4)=\frac{2}{5}$ .

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Comment déterminer la loi de Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X) ?

En identifiant Y(Ω)=g(X(Ω))Y(\Omega)=g(X(\Omega))Y(Ω)=g(X(Ω)) puis en calculant P(Y=y)=∑x: g(x)=yP(X=x)P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)P(Y=y)=∑x:g(x)=y​P(X=x)

Pour comprendre, fais des exercices !

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En identifiant $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ puis en calculant $P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} P(X=x)$