L'objectif

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète par application directe de la formule de sommation.

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire discrète de support $X(\Omega)$ , alors $X$ admet une espérance si et seulement si la série $\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ est absolument convergente (condition automatique si $X(\Omega)$ est fini), et dans ce cas $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ .

La méthode

1
J'identifie le support $X(\Omega)$ et la loi de $X$ : si $X(\Omega)$ est fini, l'existence de l'espérance est automatique ; sinon, je vérifie d'abord que $\sum_{x\in X(\Omega)} |x|P(X=x)<+\infty$ .
Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?Voir
2
Je calcule la somme $\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ en reconnaissant éventuellement une série usuelle (géométrique dérivée, série exponentielle, binôme).
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir
3
Je conclus en donnant la valeur de $E(X)$ , et j'interprète le résultat comme la valeur moyenne de $X$ .

Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?

En appliquant $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ (en vérifiant la convergence absolue si $X(\Omega)$ est infini)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?

En appliquant E(X)=∑x∈X(Ω)xP(X=x)E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)E(X)=∑x∈X(Ω)​xP(X=x) (en vérifiant la convergence absolue si X(Ω)X(\Omega)X(Ω) est infini)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$ (en vérifiant la convergence absolue si $X(\Omega)$ est infini)