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Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels F_1,…,F_k est… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

Établir le caractère direct d'une somme $F_1 + \dots + F_k$ , c'est-à-dire l'unicité de la décomposition de tout vecteur.

Choisissez une approche :

En montrant que la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale
Prouver que $F_1 + \dots + F_k$ est directe en établissant l'unicité de la décomposition $0 = x_1 + \dots + x_k$ avec $x_i \in F_i$ .
En concaténant des bases des $F_i$ et en vérifiant la liberté de la famille obtenue
Prouver le caractère direct d'une somme en montrant que la concaténation de bases des $F_i$ est libre.
En vérifiant l'égalité des dimensions $\dim(F_1 + \dots + F_k) = \sum \dim F_i$
Prouver le caractère direct d'une somme en dimension finie via l'égalité des dimensions de la somme et de la somme des dimensions.
En invoquant que les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe
Utiliser le théorème du cours : les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont automatiquement en somme directe.