Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ? | MetMat

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

En invoquant que les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe

Prouver que les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont en somme directe via un résultat de cours.

L'objectif

Prouver que les sous-espaces propres d'un endomorphisme sont en somme directe via un résultat de cours.

Le principe

Si $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ sont des valeurs propres deux à deux distinctes de $f \in \mathcal{L}(E)$ , alors la somme $E_{\lambda_1}(f) + \dots + E_{\lambda_k}(f)$ est directe.

La méthode

1
J'identifie que les sous-espaces $F_i$ étudiés sont les sous-espaces propres $E_{\lambda_i}(f)$ d'un endomorphisme $f$ , et je vérifie que les valeurs propres $\lambda_i$ sont bien deux à deux distinctes.
2
J'invoque le théorème du cours : la famille $(E_{\lambda_1}(f), \dots, E_{\lambda_k}(f))$ est en somme directe.
3
Je conclus que $E_{\lambda_1}(f) \oplus \dots \oplus E_{\lambda_k}(f)$ , sans démonstration supplémentaire.

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Exercice d'exemple

Soit $A = \mathrm{diag}(1, 2, 3) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ . Montrer que $E_1(A) \oplus E_2(A) \oplus E_3(A)$ .

Étape 1 —

J'identifie que les sous-espaces

F_i

étudiés sont les sous-espaces propres

E_{\lambda_i}(f)

d'un endomorphisme

f

, et je vérifie que les valeurs propres

\lambda_i

sont bien deux à deux distinctes.

Les valeurs propres de $A$ sont $1, 2, 3$ , deux à deux distinctes, et $E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I_3)$ pour chacune.

Étape 2 —

J'invoque le théorème du cours : la famille

(E_{\lambda_1}(f), \dots, E_{\lambda_k}(f))

est en somme directe.

Par le théorème du cours, la somme $E_1(A) + E_2(A) + E_3(A)$ est directe.

Étape 3 —

Je conclus que

E_{\lambda_1}(f) \oplus \dots \oplus E_{\lambda_k}(f)

, sans démonstration supplémentaire.

Donc $E_1(A) \oplus E_2(A) \oplus E_3(A)$ .

Les sous-espaces propres $E_1, E_2, E_3$ sont en somme directe.

Application guidée

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^4$ ayant pour valeurs propres $-1, 0, 2$ . Montrer que $E_{-1}(f) \oplus E_0(f) \oplus E_2(f)$ est une somme directe.

Application autonome 1

Soit $p$ un projecteur sur $E$ , c'est-à-dire $p^2 = p$ . Montrer que $E_0(p) \oplus E_1(p)$ est une somme directe.

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Montrer que $E_{-1}(A) \oplus E_3(A)$ .

Application autonome 3

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ tel que $f^3 = f$ . Montrer que $E_{-1}(f) \oplus E_0(f) \oplus E_1(f)$ .

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