Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

En concaténant des bases des $F_i$ et en vérifiant la liberté de la famille obtenue

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $F = \mathrm{Vect}((1,0,0), (0,1,0))$ et $G = \mathrm{Vect}((0,0,1))$ dans $\mathbb{R}^3$ . Montrer que $F + G$ est directe.

La méthode

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Je choisis une base $\mathcal{B}_i = (v_i^{(1)}, \dots, v_i^{(d_i)})$ de chaque $F_i$ , puis je forme la famille concaténée $\mathcal{B} = \mathcal{B}_1 \cup \dots \cup \mathcal{B}_k$ .
2
J'écris une combinaison linéaire nulle de $\mathcal{B}$ , je regroupe les termes par sous-espace (chaque groupe donne un élément $x_i \in F_i$ ) et j'obtiens $\sum x_i = 0$ , puis j'en déduis que chaque $x_i = 0$ .
3
Comme $\mathcal{B}_i$ est libre dans $F_i$ , tous les coefficients sont nuls : $\mathcal{B}$ est libre et la somme est directe.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $F = \mathrm{Vect}((1,0,0), (0,1,0))$ et $G = \mathrm{Vect}((0,0,1))$ dans $\mathbb{R}^3$ . Montrer que $F + G$ est directe.

1

$\mathcal{B}_F = ((1,0,0), (0,1,0))$ est une base de $F$ et $\mathcal{B}_G = ((0,0,1))$ en est une de $G$ ; je concatène : $\mathcal{B} = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$ .

2

$\alpha(1,0,0) + \beta(0,1,0) + \gamma(0,0,1) = 0$ donne $(\alpha, \beta, \gamma) = (0,0,0)$ .

3

La famille est libre, donc $F \oplus G$ ; c'est la base canonique de $\mathbb{R}^3$ .

$\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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