Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ? | MetMat

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

En montrant que la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale

Démontrer rigoureusement le caractère direct d'une somme par la caractérisation par le vecteur nul.

L'objectif

Démontrer rigoureusement le caractère direct d'une somme par la caractérisation par le vecteur nul.

Le principe

Une somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe si et seulement si la seule écriture du vecteur nul de la forme $x_1 + \dots + x_k$ avec $x_i \in F_i$ est obtenue pour $x_1 = \dots = x_k = 0$ .

La méthode

1
Je fixe $x_i \in F_i$ pour $i = 1, \dots, k$ tels que $x_1 + \dots + x_k = 0$ .
2
J'exploite les hypothèses sur les $F_i$ (inclusions, dimensions, propriétés algébriques) pour déduire successivement $x_1 = 0$ , puis $x_2 = 0$ , …, $x_k = 0$ .
3
Je conclus que la somme $F_1 + \dots + F_k$ est directe.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $F = \mathrm{Vect}((1, 1))$ et $G = \mathrm{Vect}((1, -1))$ dans $\mathbb{R}^2$ . Montrer que la somme $F + G$ est directe.

Étape 1 —

Je fixe

x_i \in F_i

pour

i = 1, \dots, k

tels que

x_1 + \dots + x_k = 0

Soient $x \in F$ et $y \in G$ tels que $x + y = 0$ ; il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ avec $x = \alpha(1, 1)$ et $y = \beta(1, -1)$ , donc $\alpha(1,1) + \beta(1,-1) = 0$ .

Étape 2 —

J'exploite les hypothèses sur les

F_i

(inclusions, dimensions, propriétés algébriques) pour déduire successivement

x_1 = 0

, puis

x_2 = 0

, …,

x_k = 0

Cela donne le système $\alpha + \beta = 0$ et $\alpha - \beta = 0$ , d'où $\alpha = \beta = 0$ , donc $x = y = 0$ .

Étape 3 —

Je conclus que la somme

F_1 + \dots + F_k

est directe.

Donc la somme $F + G$ est directe : $F \oplus G$ .

$F \oplus G$ .

Application guidée

Soit $E = \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , $S$ l'espace des matrices symétriques et $A$ celui des antisymétriques. Montrer que $S + A$ est directe.

Application autonome 1

Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f^2 = f$ (projecteur). Montrer que $\ker(f) + \mathrm{Im}(f)$ est directe.

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ , soient $F = \mathrm{Vect}((1, 0, 0))$ , $G = \mathrm{Vect}((0, 1, 0))$ et $H = \mathrm{Vect}((0, 0, 1))$ . Montrer que $F + G + H$ est directe.

Application autonome 3

Dans $\mathbb{R}_3[X]$ , soient $F = \mathrm{Vect}(1, X)$ et $G = \mathrm{Vect}(X^2, X^3)$ . Montrer que la somme $F + G$ est directe.

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