Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

Soient $x \in F$ et $y \in G$ tels que $x + y = 0$ ; il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ avec $x = \alpha(1, 1)$ et $y = \beta(1, -1)$, donc $\alpha(1,1) + \beta(1,-1) = 0$.

Cela donne le système $\alpha + \beta = 0$ et $\alpha - \beta = 0$, d'où $\alpha = \beta = 0$, donc $x = y = 0$.

Donc la somme $F + G$ est directe : $F \oplus G$.