Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

En vérifiant l'égalité des dimensions $\dim(F_1 + \dots + F_k) = \sum \dim F_i$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$ et $G = \mathrm{Vect}((1,1,1))$ . Montrer que $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

La méthode

1
Je calcule les dimensions $\dim F_i$ de chaque sous-espace, puis je calcule $\dim(F_1 + \dots + F_k)$ (en exhibant une famille génératrice et en extrayant une base, ou via une double inclusion).
2
Je compare : si l'égalité $\dim(\sum F_i) = \sum \dim F_i$ est vérifiée, la somme est directe ; sinon, elle ne l'est pas.
3
Je conclus quant au caractère direct de la somme.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$ et $G = \mathrm{Vect}((1,1,1))$ . Montrer que $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

1

$\dim F = 2$ (plan défini par une équation), $\dim G = 1$ , et $(1,1,1) \notin F$ car $1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ , donc $F + G$ contient strictement $F$ : $\dim(F + G) \geqslant 3$ , or $F + G \subset \mathbb{R}^3$ , d'où $\dim(F + G) = 3$ .

2

$\dim(F + G) = 3 = 2 + 1 = \dim F + \dim G$ , donc la somme est directe.

3

Par conséquent $\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

$\mathbb{R}^3 = F \oplus G$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment exprimer les coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base à partir de ses coordonnées dans l'ancienne ?

Comment utiliser les formules de changement de base pour obtenir la matrice d'un endomorphisme dans une nouvelle base ?

Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

Comment construire une base adaptée à une somme directe

E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k

?

Comment calculer la dimension d'une somme directe de sous-espaces vectoriels ?

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels F1,…,FkF_1,\dots,F_kF1​,…,Fk​ est directe ?

En vérifiant l'égalité des dimensions dim⁡(F1+⋯+Fk)=∑dim⁡Fi\dim(F_1 + \dots + F_k) = \sum \dim F_idim(F1​+⋯+Fk​)=∑dimFi​

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment montrer que la somme de sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k$ est directe ?

En vérifiant l'égalité des dimensions $\dim(F_1 + \dots + F_k) = \sum \dim F_i$