Comment comparer par simulation plusieurs estimateurs ponctuels et plusieurs intervalles de confiance d'un même paramètre ? | MetMat

Comment comparer par simulation plusieurs estimateurs ponctuels et plusieurs intervalles de confiance d'un même paramètre ?

En estimant la demi-largeur moyenne et le niveau effectif de couverture de chaque intervalle de confiance

L'objectif

Comparer deux méthodes de construction d'IC (Bienaymé-Tchebychev vs TLC par exemple) via leur demi-largeur moyenne et leur niveau effectif.

Le principe

Pour un IC annoncé au niveau $1-\alpha$ , le niveau effectif est $P_\theta(\theta \in \mathrm{IC})$ : il s'estime par la fréquence empirique sur $M$ simulations d'inclusion du vrai paramètre ; l'IC le meilleur a une demi-largeur faible et un niveau effectif proche de $1-\alpha$ .

La méthode

1
Je fixe la vraie valeur $\theta$ , $n$ , $M$ , le niveau $\alpha=0.05$ et je simule Y = rd.xxx(size=(M, n)).
2
Pour chaque méthode, je calcule les $M$ bornes inférieures et supérieures en vectoriel : par exemple IC Bienaymé-Tchebychev [T - c1/sqrt(n), T + c1/sqrt(n)] et IC TLC [T - 1.96*s/sqrt(n), T + 1.96*s/sqrt(n)].
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
Je calcule la demi-largeur moyenne avec np.mean(sup - inf)/2 pour chaque méthode, et je compare.
4
J'estime le niveau effectif par np.mean((inf <= theta) & (theta <= sup)) et je conclus en combinant couverture et étroitesse.

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Application guidée 1

Pour $X_i\sim\mathcal{B}(1, p)$ avec $p=0.3$ , $n=100$ , $M=10^4$ , comparer l'IC Bienaymé-Tchebychev $[\bar X_n \pm 1/(2\sqrt{n\alpha})]$ et l'IC TLC $[\bar X_n \pm 1.96/(2\sqrt n)]$ .

Application guidée 2

Pour $X_i\sim\mathcal{N}(m, 4)$ (écart-type $\sigma=2$ connu), $m=1$ , $n=25$ , $M=5000$ , comparer l'IC exact gaussien $[\bar X_n \pm 1.96\sigma/\sqrt n]$ à l'IC Bienaymé-Tchebychev $[\bar X_n \pm \sigma/\sqrt{n\alpha}]$ .

Application autonome 1

Étudier comment évoluent demi-largeur moyenne et niveau effectif avec $n$ pour l'IC TLC du paramètre $p$ d'une Bernoulli $\mathcal{B}(0.5)$ .

Application autonome 2

Pour $X_i \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda = 1$ , $n = 100$ , $M = 10^4$ , estimer le niveau effectif de couverture de l'IC TLC $[\overline{X}_n \pm 1{,}96 \, s_n / \sqrt{n}]$ (avec $s_n$ écart-type empirique) pour $1/\lambda$ .

Application autonome 3

Étudier l'évolution avec $n \in \{50, 100, 500, 2000\}$ de la demi-largeur moyenne et du niveau effectif de l'IC Bienaymé-Tchebychev $[\overline{X}_n \pm 1/(2\sqrt{n \alpha})]$ pour $p$ d'une Bernoulli $\mathcal{B}(0{,}4)$ , $M = 5000$ , $\alpha = 0{,}05$ .

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