Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ? | MetMat

Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ?

En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie

Simplifier une covariance de combinaisons linéaires en une somme de covariances de base.

L'objectif

Simplifier une covariance de combinaisons linéaires en une somme de covariances de base.

Le principe

La covariance est bilinéaire, symétrique, et vérifie $\mathrm{Cov}(X,X)=V(X)$ et $\mathrm{Cov}(X,c)=0$ pour toute constante $c$ : $\mathrm{Cov}\!\left(\sum_i a_i X_i,\sum_j b_j Y_j\right)=\sum_{i,j} a_i b_j\,\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ .

La méthode

1
Je vérifie que toutes les variables en jeu admettent une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
2
Je développe la covariance en double somme $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ en utilisant la bilinéarité.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
3
Je simplifie chaque terme : $\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=V(X_i)$ , $\mathrm{Cov}(X_i,c)=0$ , et j'utilise la symétrie $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)$ si nécessaire.
4
Je regroupe les termes identiques et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires admettant une variance. Calculer $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que toutes les variables en jeu admettent une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances.

$X,Y,Z$ admettent une variance donc les covariances $\mathrm{Cov}(X,Z)$ et $\mathrm{Cov}(Y,Z)$ existent.

Étape 2 —

Je développe la covariance en double somme

\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)

en utilisant la bilinéarité.

Par bilinéarité à gauche : $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

Étape 3 —

Je simplifie chaque terme :

\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=V(X_i)

\mathrm{Cov}(X_i,c)=0

, et j'utilise la symétrie

\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)

si nécessaire.

Aucun terme ne se simplifie davantage sans information supplémentaire.

Étape 4 —

Je regroupe les termes identiques et je conclus.

Donc $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

$\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

Application guidée

Soient $X,Y$ deux variables aléatoires admettant une variance et $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ . Calculer $\mathrm{Cov}(aX+b,cY+d)$ .

Application autonome 1

Soient $X_1,X_2$ deux variables admettant une variance, avec $V(X_1)=2$ , $V(X_2)=3$ et $\mathrm{Cov}(X_1,X_2)=1$ . Calculer $\mathrm{Cov}(2X_1-X_2,\,X_1+3X_2)$ .

Application autonome 2

Soient $X_1,\ldots,X_n$ deux à deux non corrélées, de variance commune $\sigma^2$ . Calculer $\mathrm{Cov}(\bar X_n,X_1)$ où $\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, X_2, X_3$ trois variables admettant une variance, avec $V(X_1) = 1$ , $V(X_2) = 2$ , $V(X_3) = 3$ et $\mathrm{Cov}(X_i, X_j) = 0$ pour $i \neq j$ . Calculer $V(X_1 + 2 X_2 - X_3)$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En développant Cov(∑aiXi,∑bjYj)=∑i,jaibjCov(Xi,Yj)\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)Cov(∑ai​Xi​,∑bj​Yj​)=∑i,j​ai​bj​Cov(Xi​,Yj​) et en utilisant la symétrie

Pour comprendre, fais des exercices !

En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie