Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ? | MetMat

Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ?

En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie

Simplifier une covariance de combinaisons linéaires en une somme de covariances de base.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires admettant une variance. Calculer $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)$ .

L'objectif

Simplifier une covariance de combinaisons linéaires en une somme de covariances de base.

Le principe

La covariance est bilinéaire, symétrique, et vérifie $\mathrm{Cov}(X,X)=V(X)$ et $\mathrm{Cov}(X,c)=0$ pour toute constante $c$ : $\mathrm{Cov}\!\left(\sum_i a_i X_i,\sum_j b_j Y_j\right)=\sum_{i,j} a_i b_j\,\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ .

La méthode

1
Je vérifie que toutes les variables en jeu admettent une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
2
Je développe la covariance en double somme $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ en utilisant la bilinéarité.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
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Je simplifie chaque terme : $\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=V(X_i)$ , $\mathrm{Cov}(X_i,c)=0$ , et j'utilise la symétrie $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)$ si nécessaire.
4
Je regroupe les termes identiques et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires admettant une variance. Calculer $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que toutes les variables en jeu admettent une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances.

$X,Y,Z$ admettent une variance donc les covariances $\mathrm{Cov}(X,Z)$ et $\mathrm{Cov}(Y,Z)$ existent.

Étape 2 —

Je développe la covariance en double somme

\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)

en utilisant la bilinéarité.

Par bilinéarité à gauche : $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

Étape 3 —

Je simplifie chaque terme :

\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=V(X_i)

\mathrm{Cov}(X_i,c)=0

, et j'utilise la symétrie

\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)

si nécessaire.

Aucun terme ne se simplifie davantage sans information supplémentaire.

Étape 4 —

Je regroupe les termes identiques et je conclus.

Donc $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

$\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

Application guidée

Soient $X,Y$ deux variables aléatoires admettant une variance et $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ . Calculer $\mathrm{Cov}(aX+b,cY+d)$ .

Application autonome 1

Soient $X_1,X_2$ deux variables admettant une variance, avec $V(X_1)=2$ , $V(X_2)=3$ et $\mathrm{Cov}(X_1,X_2)=1$ . Calculer $\mathrm{Cov}(2X_1-X_2,\,X_1+3X_2)$ .

Application autonome 2

Soient $X_1,\ldots,X_n$ deux à deux non corrélées, de variance commune $\sigma^2$ . Calculer $\mathrm{Cov}(\bar X_n,X_1)$ où $\bar X_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .

Application autonome 3

Soient $X_1, X_2, X_3$ trois variables admettant une variance, avec $V(X_1) = 1$ , $V(X_2) = 2$ , $V(X_3) = 3$ et $\mathrm{Cov}(X_i, X_j) = 0$ pour $i \neq j$ . Calculer $V(X_1 + 2 X_2 - X_3)$ .

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En développant Cov(∑aiXi,∑bjYj)=∑i,jaibjCov(Xi,Yj)\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)Cov(∑ai​Xi​,∑bj​Yj​)=∑i,j​ai​bj​Cov(Xi​,Yj​) et en utilisant la symétrie

Pour comprendre, fais des exercices !

En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie