Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ?

En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires admettant une variance. Calculer $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)$ .

La méthode

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Je vérifie que toutes les variables en jeu admettent une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
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Je développe la covariance en double somme $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ en utilisant la bilinéarité.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
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Je simplifie chaque terme : $\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=V(X_i)$ , $\mathrm{Cov}(X_i,c)=0$ , et j'utilise la symétrie $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)$ si nécessaire.
4
Je regroupe les termes identiques et je conclus.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires admettant une variance. Calculer $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)$ .

1

$X,Y,Z$ admettent une variance donc les covariances $\mathrm{Cov}(X,Z)$ et $\mathrm{Cov}(Y,Z)$ existent.

2

Par bilinéarité à gauche : $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

3

Aucun terme ne se simplifie davantage sans information supplémentaire.

4

Donc $\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

$\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$ .

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Comment calculer la variance d'une somme

V(X_1+\cdots+X_n)

avec ou sans indépendance ?

Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ?

En développant Cov(∑aiXi,∑bjYj)=∑i,jaibjCov(Xi,Yj)\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)Cov(∑ai​Xi​,∑bj​Yj​)=∑i,j​ai​bj​Cov(Xi​,Yj​) et en utilisant la symétrie

Pour comprendre, passons aux exercices.

En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie