En combinant linéairement des matrices déjà connues à partir d'une relation sur $f$

Soit $g \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ tel que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. On pose $f = 2\,g - 3\,\mathrm{Id}$. Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$.

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\mathcal{B} = (1,X,X^2)$, on note $D$ la dérivation de matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Déterminer la matrice de $f = D + \mathrm{Id}$.

Soit $p$ un projecteur de $\mathbb{R}^n$ de matrice $P$ dans $\mathcal{B}$. On considère la symétrie $s = 2 p - \mathrm{Id}$. Exprimer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(s)$ en fonction de $P$.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 - 2A + I_n = 0$. Exprimer $A^{-1}$ comme combinaison linéaire de $A$ et $I_n$.

Soit $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $B^3 = 3B - 2I_n$. Exprimer $B^4$ comme combinaison linéaire de $I_n$, $B$ et $B^2$.