Comment écrire la matrice d'un… : En partant d'une matrice connue dans… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée ?

En partant d'une matrice connue dans une autre base et en appliquant la formule de changement de base

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ sans calculer directement les images $f(e'_j)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ dans $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ . On pose $\mathcal{B}' = (e_1 + e_2, e_1 - e_2)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ .

L'objectif

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$ sans calculer directement les images $f(e'_j)$ .

Le principe

Si $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ et $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ , alors $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} A P$ .

La méthode

1
Je vérifie que $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont deux bases de $E$ et j'identifie $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ ainsi que $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ , matrice de passage dont les colonnes contiennent les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$ .
Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?Voir
2
Je calcule $P^{-1}$ (par exemple par la méthode du pivot de Gauss ou par $P^{-1} = \frac{1}{\det P}\,{}^t\!\mathrm{com}(P)$ en dimension $2$ ).
3
Je calcule $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} A P$ par produit matriciel.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que

\mathcal{B}

\mathcal{B}'

sont deux bases de

E

et j'identifie

A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)

ainsi que

P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

, matrice de passage dont les colonnes contiennent les coordonnées des vecteurs de

\mathcal{B}'

dans

\mathcal{B}

$\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ sont bien des bases de $\mathbb{R}^2$ (déterminant non nul) ; $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je calcule

P^{-1}

(par exemple par la méthode du pivot de Gauss ou par

P^{-1} = \frac{1}{\det P}\,{}^t\!\mathrm{com}(P)

en dimension

2

Je calcule $\det(P) = -2$ et $P^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} A P

par produit matriciel.

Je calcule $A P = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$ puis $P^{-1} A P = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/2 & -1/2 \\ -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$ .

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = \begin{pmatrix} 5/2 & -1/2 \\ -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$ .

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