Comment exploiter l'inégalité de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev pour établir la convergence d'un estimateur ?

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour majorer $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)$

L'objectif

Appliquer Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour en déduire sa convergence en probabilité.

Le principe

Si $T_n$ est sans biais pour $g(\theta)$ et admet une variance, Bienaymé-Tchebychev donne $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)\leq V(T_n)/\varepsilon^2$ , qui tend vers $0$ dès que $V(T_n)\to 0$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $T_n$ admet une espérance et une variance finies sous $P_\theta$ , et $E_\theta(T_n) = g(\theta)$ .
2
J'applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $T_n$ : pour tout $\varepsilon > 0$ , $P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) \leq V_\theta(T_n)/\varepsilon^2$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour contrôler $P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)$ ?Voir
3
Je montre que $V_\theta(T_n)\xrightarrow[n\to +\infty]{} 0$ (en général $V(T_n) = c(\theta)/n$ pour des moyennes empiriques).
4
Je conclus par encadrement : $\lim_{n\to+\infty} P_\theta(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon) = 0$ , donc $T_n\xrightarrow{P_\theta} g(\theta)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour majorer P(∣Tn−g(θ)∣≥ε)P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)P(∣Tn​−g(θ)∣≥ε)

Exemple corrigé

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à un estimateur sans biais pour majorer $P(|T_n - g(\theta)|\geq \varepsilon)$